Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 2.11. Площадь поверхности

Зададим в трехмерном пространстве , где определена прямоугольная система координат , поверхность , описываемую уравнением

.                                      (1)

Мы предполагаем, что  есть открытая ограниченная область плоскости  с кусочно-гладкой границей, а функция  имеет непрерывные частные производные

                                            (2)

на. Разрежем  на части, пересекающиеся попарно разве что по своим (кусочно-гладким) границам

.

Пусть  - произвольная точка . Ей соответствует точка  с координатами , где . В точке  проведем плоскость  касательную к . Построим на границе  как на направляющей цилиндрическую поверхность  с образующей, параллельной оси . Она вырежет в касательной плоскости  кусок . Площадь его обозначим через .

По определению площадью поверхности  называется предел

.

Косинус острого угла нормали  к  в точке  с осью  равен

,

где квадратный корень взят со знаком , а . обозначают результаты подстановки в  значений ,. Ведь уравнение касательной плоскости имеет вид

и, следовательно, нормаль к ней определяется вектором . Очевидно, что  есть проекция  на плоскость  и, следовательно, площадь (двумерная мера)  равна

,

и

,

так как функция  непрерывна на , а, следовательно, интегрируема.

Мы доказали, что площадь поверхности , описываемой уравнением (1), выражается по формуле

.                              (3)

Конечно, если поверхность  задана при помощи функции

,                                         (1')

явно выражающей зависимость  от , то

,                                 (3')

а если  задана функцией

,                                          (1'')

то

.                      (3'')

Пример 1. Вычислить площадь части сферы  заключенной внутри кругового цилиндра .

В данном случае . Пусть  есть четверть круга радиуса  с центром в начале координат (рис.56). Согласно (3), учитывая симметрию, находим

Рис. 56

При  интегралы в этой цепи надо понимать в несобственном смысле (см. далее §2.13).

Преобразуем интеграл (3), сделав в нем подстановку

,                                 (4)

приводящую во взаимно однозначное соответствие области  и , в предложении, что  и  непрерывно дифференцируемы на  и якобиан

 на .                                                        (5)

Подставляя в формулу (1) выражения  и  из (4), получим

.

Тогда

Решая эти уравнения относительно  и учитывая (5), получим

.

Поэтому, применив к интегралу (3) формулу о замене переменных (2) §2.7., получим

                        (6)

Таким образом, площадь поверхности  выражается также формулой

                                     (7)

Гладкую поверхность  можно задать параметрически - при помощи трех уравнений

,                                    (8)

где функции  имеют непрерывные частные производные на замыкании  области  значений , называемых параметрами . При этом предполагается, что ранг матрицы

                                                                                 (9)

равен 2 для всех точек . Это показывает, что имеет место неравенство

.                   (10)

В самом деле, это неравенство выражает тот факт, что для любого  по крайней мере один из членов суммы в левой части (10) не равен нулю. Таким образом, один из определителей второго порядка, порождаемых матрицей (9), не равен нулю.

Отметим, что три уравнения (8) поверхности  можно записать в векторной форме

,                               (11)

где, таким образом, вектор  (радиус-вектор точки поверхности ) зависит от двух скалярных параметров  и .

Дифференцируя равенство (11) по  и по , получаем

                                               (12)

Векторное произведение этих двух векторов есть

         (13)

Квадрат длины вектора  оказывается равен левой части (10):

.

Уравнения

определяют сферу радиуса 1 с центром в нулевой точке . Мы видим, что всю сферу можно задать в параметрическом виде едиными уравнениями. В явном виде, т. е. в одном из видов (1), (1'), (1"), сферу в целом, очевидно, задать нельзя. Только отдельные куски сферы, если они проектируются однозначно на ту или иную координатную плоскость, возможно описать в явном виде.

С другой стороны, поверхность , заданную параметрически при помощи уравнений (8), всегда можно выразить явно, но только локально. В самом деле, зададим какую-либо точку , соответствующую параметрам . В силу условия (10) в этой точке одно из слагаемых левой части (10) больше нуля, пусть первое. Но тогда в окрестности  можно решить первые два уравнения (8) относительно  и  и получить

.

Подставив эти функции в третье уравнение (8), получим, что некоторый кусок  поверхности , содержащий в себе точку , описывается явно уравнением вида

.

Мы видим, что параметрическое задание поверхности является, вообще говоря, более общим, чем явное.

Если поверхность  задана параметрически уравнениями (8), то по определению ее площадью называется число, равное

.                                             (14)

Заметим, что всякой области , принадлежащей к , соответствует при помощи уравнений (8) некоторая поверхность . Это кусок поверхности . Согласно определению (14) площадь  равна

                                                                 (15)

Ясно, что если  разрезать на два куска , соответствующие областям , то

.

Это показывает, что определение (14) обладает естественным свойством - площадь куска  поверхности  равна сумме площадей кусков  и  на которые он разрезан.

Подчеркнем также, что если определение (14) пощади  применить к куску , проектируемому однозначно на ту или иную координатную плоскость, то оно эквивалентно исходному определению площади такого куска ((3), (3') или (3")). Это было доказано выше (см. (6)).

Пример 2. Найти площадь поверхности, заданной параметрически:

.

Данную поверхность называют геликоидом. Вычислим якобианы:

Далее,

Поэтому на основании формулы (14) имеем

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>