§ 2.10. Цилиндрические координаты

Зададим в трехмерном пространстве прямоугольную систему координат . Произвольная точка  пространства определяется также тройкой чисел , где  - по-прежнему ее аппликата, а  - полярные координаты точки  плоскости  в предположении, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси  (рис. 53).

Рис. 53

 

Очевидно,

                                                (1)

Якобиан этого преобразования

.                        (2)

Формула замены переменных в этом случае записывается так:

.

Чтобы наглядно получить элемент объема в цилиндрических координатах, рассечем пространство концентрическими цилиндрическими круговыми поверхностями, имеющими осью ось , плоскостями, проходящими через ось , и плоскостями, параллельными плоскости  (рис. 54). Элемент пространства, ограниченный этими поверхностями, с точностью до малых высшего порядка, представляет собой прямоугольный параллелепипед с ребрами . Его объем равен .

Рис. 54                                               Рис.55

Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

         (рис.55).

Как нам известно,

.

Вводя цилиндрические координаты (1) получаем

.