§ 2.13. Несобственные интегралы

Пусть функция  задана в замкнутой области . Точка  называется особой точкой функции, если в любой  - окрестности точки  функция неограниченна. Пусть (рис. 61) , где  — открытый шар радиуса  с центром в точке .

Если функция  имеет единственную особую точку  на области  и непрерывна на области  при , то несобственным интегралом функции  на  называется предел (если он существует)

.                                      (1)

Говорят, что в случае существования конечного предела (1) несобственный интеграл сходится, а если предел (1) не существует или равен бесконечности, то расходится.

Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

                                                     (2)

 от абсолютной величины .

Рис. 61

Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из абсолютной сходимости интеграла (2) следует, что предел  существует и конечен. Но тогда, применяя к этому пределу признак Коши (относительно функции от одного переменного ), получим, что для любого  найдется  такое, что

.

Итак, для любого  найдется , так что для всех положительных , удовлетворяющих неравенствам , имеет место

.

А это показывает, согласно критерию Коши, что существует предел (1), т. е. существует несобственный интеграл (1).

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла

,                         (3)

где  - единичный шар .

Решение. Функция  имеет единственную особую точку . Поэтому, переходя к полярным координатам, получим

Мы доказали, что интеграл (3) сходится при . Если , то интеграл (3) расходится. При  интеграл (3) также расходится (при вычислении интеграла по  первообразная равна ).

Замечание 1. В -мерном пространстве, т. е. когда , интеграл (3) сходится при  и расходится при .

Если область  неограниченна и функция  непрерывна на области  при любом  (рис. 62), то несобственным интегралом по неограниченной области  называется число, равное пределу

.                       (4)

Рис.62                                                Рис.63

Пример 2. Интеграл , где , сходится при  и расходится при .

Проводя вычисления как в примере 1, получаем

При

.

Замечание 2 . В -мерном пространстве интеграл

,

сходится при  и расходится при .

Пример З. Исследовать интеграл

.

По определению имеем

,

где  - четверть круга радиуса  (рис. 63). Переходя к полярным координатам

,

,

имеем

Таким образом,

.

С другой стороны, этот интеграл равен

,

где несобственный интеграл от одной переменной справа (интеграл Пуассона) сходится. Поэтому мы получаем

.

Пример 4. Вычислить интеграл

.

Интегрируя два раза по частям, имеем

Переходя к пределу при  , будем иметь