§ 1.25. Элементы теории устойчивости.

Во многих задачах важно знать не одно конкретное решение задачи, отвечающей данным начальным условиям, а характер поведения решения при изменении начальных условий и при изменении начального аргумента. Этими Вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений, одним из основных разделов которой является теория устойчивости решения, или теория устойчивости движения.

Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

                         (1)

с начальными условиями

.                                          (2)

Условия (2) обычно являются результатом измерения и, следовательно, получены с некоторой точностью.

Если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то решение системы (1), определяемое выбранными нами не точными начальными данными, не имеет никакого значения и даже приближенно не может описывать явление.

Поэтому важно знать условия, при которых малое изменение условий (2) влечет малое изменение решения системы (1).

Если  меняется в достаточно малом конечном промежутке , то ответ на этот вопрос можно получить на основании теоремы существования и единственности.

Теорема 1. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий). Если правая часть дифференциального уравнения

                                   (3)

непрерывна и по переменному  имеет ограниченную частную производную  на прямоугольнике , то решение уравнения (3) , удовлетворяющее начальному условию , непрерывно зависит от начальных данных. Точнее, для всякого  найдется такое число , что если , то

при

,

.

Доказательство. При доказательстве теоремы существования (§ 1.6) мы получили, что

,

.

Отсюда, применяя теорему Лагранжа (пояснения ниже), получим

.

Так как , то

,

или

.

Если теперь мы возьмем

, где ,

то

.

Сделаем некоторые пояснения. Имеет место неравенство

,

где  или , показывающее, что интегральная кривая  для  принадлежит к прямоугольнику, находящемуся строго внутри прямоугольника . Отсюда видно, что кривая

,

тоже не выходит за пределы прямоугольника , если только

.

Это показывает, что теорема Лагранжа была применена выше обоснованно, во всяком случае при , ведь функция  по условию имеет непрерывную производную  на .

Подобная теорема верна и для системы (1).

При выполнении всех условий теоремы говорят, что задача поставлена корректно

Мы изучали устойчивость решения на достаточно малом отрезке значений .

Если же аргумент  может принимать какие угодно значения, то вопросом зависимости решения от начальных данных занимается теория устойчивости.

Определение. Пусть  - решение системы (1). Решение  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для всякого  существует  такое, что для любого решения  той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам

,                                          (4)

справедливы неравенства

.                     (5)

Таким образом, решение  устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и для всех  (рис. 18).

Если решение  устойчиво по Ляпунову и, кроме того,

,                                      (6)

то оно называется асимптотически устойчивым.

Отметим, что из (6) не следует устойчивость по Ляпунову.

Пример 1. .

Общее решение этого уравнения . Решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид

.

Если теперь мы зададим другое начальное условие , то решение будет

.

Отсюда

,

при . Поэтому, если , то , т.е. решение  устойчиво по Ляпунову при . Это решение также и асимптотически устойчиво, так как

.

Пример 2. Для уравнения  аналогично можно показать, что

,

для  при любом .

Очевидно, каково бы ни было  при , решение  неустойчиво, так как сомножитель  при .

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения  системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость тривиального (тождественно равного нулю) решения некоторой другой системы. Для этого надо перейти к новым неизвестным функциям

.                                        (7)

Отсюда

.

Поэтому система (1) перейдет в систему

                             (8)

.

Система (8) имеет тривиальное решение

.                                 (9)

Из сказанного следует теорема.

Теорема 2. Решение  системы (1) устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) тривиальное решение (точка покоя) системы (8).

Это решение обладает тем свойством, что точка  в действительности не движется при изменении , а стоит на месте. Само решение (9) и точка  в этом случае называется положением равновесия системы (1) или точкой покоя.

Условия устойчивости применительно к точке покоя  можно сформулировать так: точка покоя  системы (8) устойчива по Ляпунову, если  такое, что из неравенства

следует

,

т.е. траектория, начальная точка которой находится в некоторой - окрестности начала координат, при  не выходит за пределы произвольной  - окрестности начала координат. Здесь мы говорим об окрестностях прямоугольных, но можно перейти и к сферическим окрестностям, что удобно особенно при векторной форме записи решения :

.

Замечание 1. Произвольное частное решение  линейно неоднородной системы дифференциальных уравнений

                             (10)

(см. (1’) § 1.23) устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда устойчива по Ляпунову (асимптотически устойчива) точка покоя соответствующей однородной системы (см. теорему 2)

.                                          (11)

В самом деле, система (10) является частным случаем системы (1), а система (11) есть частный случай системы (8). Здесь свободные члены исчезли, так как функция  зависит только от  и не зависит от искомых функций.

Теорема 3 (Ляпунова). Пусть дана система

,                        (12)

имеющая тривиальное решение .

Пусть существует дифференцируемая функция  , удовлетворяющая условиям:

1)  и  только при , т.е. функция  имеет строгий минимум в начале координат.

2) Полная производная функции  вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения  системы (1))

 при .

Тогда точка покоя  устойчива по Ляпунову.

Если дополнительно потребовать, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат

,

где  - постоянная величина, то точка покоя  асимптотически устойчива.

Функция  называется функцией Ляпунова.

Пример 3.

Легко видеть, что точка покоя  является решением данной системы. Выясним, будет ли она устойчива.

Рассмотрим функцию . Она удовлетворяет всем условиям теоремы:

1)  и  только при .

2) Вдоль фазовой траектории

.

Кроме того, вне окрестности начала координат

(где  - минимум функции  вне круга ).

Значит, решение  асимптотически устойчиво.

Замечание 2. Функцию Ляпунова рекомендуется искать в виде квадратичной формы от аргументов , т.е.

.

Первое требование говорит о том, что  должна быть положительно определенной квадратичной формой. Каким образом подбирать коэффициенты , чтобы форма  была положительно определенной, указывается в теореме Сильвестра

.