§ 1.26. Классификация точек покоя.

Исследование на устойчивость системы двух линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

                                      (1)

можно провести на основании теоремы Ляпунова. Однако систему (1) можно исследовать на устойчивость и непосредственно, так как мы можем ее решить.

Будем предполагать, что определитель

.                                      (2)

Легко видеть, что  является решением системы (1) с нулевыми начальными условиями.

Для нахождения общего решения мы должны найти корни характеристического уравнения

.                           (3)

Из условия  следует, что  не является корнем характеристического уравнения (3).

1. Пусть корни характеристического уравнения  и  действительны и различны. Далее, пусть  - собственные векторы матрицы , отвечающие корням  и  соответственно, т.е.

                          (4)

Тогда, как мы знаем, общее решение системы (1) имеет вид

                                     (5)

где  - произвольные постоянные.

Если , то из (5) видно, что точка покоя  асимптотически устойчива.

В самом деле, будем считать, например, что, тогда решение (5), проходящее через точку  в момент времени , определяется постоянными  и , которые вычисляются из уравнений

где . Но тогда

,

где  - некоторые константы. Следовательно,

потому что при .

Отсюда следует, что для любого  найдется  такое, что как только , выполняются неравенства

,

т.е. точка  устойчива по Ляпунову. Кроме того, в силу того, что

,

из (5), очевидно, следует, что точка  асимптотически устойчива.

Если мы исключим аргумент  из системы (5), то полученная функция  дает траекторию движения в системе .

Математическая точка, находящаяся в начальный момент времени  в  - окрестности начала координат, при достаточно большом  переходит в точку, лежащую в  - окрестности начала координат и при  стремится к началу координат.

Такая точка покоя называется устойчивым узлом (рис. 19).

На рис. 19 изображено расположение траекторий, соответствующих данному случаю. Стрелками мы указываем направление движения точки по траектории при . Все траектории, кроме одной, в точке имеют общую касательную. Если считать, что , то угловой коэффициент касательной равен .

В самом деле, из (1) и (5) имеем

,

если , так как в силу (4)

.

Если же, то, рассуждая так же, получим .

Если , то из (5) получаем одну траекторию

.

Касательная к этой траектории (прямой) имеет угловой коэффициент .

Таким образом, касательная к траекториям, у которых , параллельна собственному вектору , отвечающему наименьшему по абсолютной величине собственному числу  (при  вектор направлен по оси ).

Кроме того, имеется одна траектория (при ), а именно прямая , которая параллельна второму собственному вектору , отвечающему большему по модулю собственному числу .

Если теперь  и , то из (5) видно, что точка покоя  неустойчива, так как  при

. Такую точку покоя называют неустойчивым узлом. Данный случай получается из предыдущего заменой  на . Поэтому траектории будут иметь прежний вид, но движение точки по траектории будет происходить в противоположном направлении

(рис. 20).

Наконец, если число , а  (или, наоборот ), то точка покоя тоже неустойчива, так как  при . Точки, находящиеся  - окрестности начала координат, по траектории

уходят в бесконечность. Отметим, что в данном случае имеется траектория, по которой движение точки происходит в направлении начала координат при :

.

Это прямая . Точка покоя данного вида называется седлом (рис. 21).

2. Пусть корни  и  комплексные ( действительны!)

.

Общее решение системы (1) можно записать в виде (5), где векторы  и  будут уже с комплексными координатами.

Действительная и мнимая части этого решения также являются решением системы. Поэтому общее решение системы (1) можно записать в виде линейной комбинации этих решений:

                           (6)

где  и  - произвольные постоянные и  - некоторые линейные комбинации этих постоянных

.

Проиллюстрируем этот факт на конкретном примере.

Пример 1. Найти общее решение системы

Характеристическое уравнение

, или

имеет корни . Координаты векторов  и  находим из равенств

,

т.е. можно положить .

Тогда

- решение системы.

Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями системы, причем линейно независимыми. Поэтому их линейная комбинация дает общее решение нашей системы:

Таким образом, в данном случае

.

При  траектории (6) для различных  в силу периодичности множителей в скобках являются замкнутыми кривыми – эллипсами с центром в точке  (рис. 22). Эти точки называются центром. При  нет асимптотической устойчивости – точка  движется по одному из эллипсов указанного семейства, обходя его бесконечное число раз. Она, очевидно, не стремится ни к какому пределу при . С другой стороны, при  точка покоя

 является устойчивой по Ляпунову. Проверим это утверждение на разобранном выше примере 1. Найдем решение рассмотренной в примере 1 системы, проходящее в момент времени  через точку . Очевидно,

,

следовательно,

и решение имеет вид

Имеем далее

Зададим , и пусть . Тогда, очевидно, если , то для всех

Мы доказали устойчивость по Ляпунову точки покоя.

Из (6) видно, что при  точка  при  стремится к нулевой точке , , называемой устойчивым фокусом. Наличие множителя  

превращает замкнутые кривые в спирали, приближающиеся асимптотически при  к началу координат (рис. 23)

Точки, находящиеся при , в произвольной  - окрестности начала координат, при достаточно большом  попадают в заданную  - окрестность точки .

Траектории, стремящиеся к фокусу, обладают тем свойством, что касательные к ним при  не стремятся ни к какому пределу. Этим фокус отличается от узла.

В случае  точка  асимптотически устойчива.

Если действительная часть  корней  и  положительна, то этот случай переходит в предыдущий при замене  на . Следовательно, траектории сохраняют форму как на рис. 23, только движение точки будет происходить в противоположном направлении. Так как  при , то точки, находящиеся в начальный момент времени в окрестности начала координат, затем уходят в бесконечность. Такая точка покоя носит название неустойчивого фокуса (рис.24).

3. Пусть корни  равны между собой ( действительна!). Тогда они действительны и общее решение системы (1) имеет вид

                                     (7)

где  - константы, связанные между собой двумя линейными уравнениями, которые можно получить, если подставить функции  и  в систему и сократить на множитель .

Если , то  при , и, следовательно, точка покоя  асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым узлом (как в п.1).

Если же , то точка  неустойчива и называется она неустойчивым узлом.

Замечание 1. Если , то характеристическое уравнение (3) имеет корень  и .

Пусть . Тогда общее решение системы (1) запишется так:

где  - произвольные постоянные и .

Исключая параметр , получим семейство параллельных прямых

.

Если , то при  на каждой траектории (на одном из параллельных лучей) точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя  (рис. 25).

Точка , так же как любая точка прямой , при  устойчива по Ляпунову, но не является асимптотически устойчивой.

Если , то точка покоя не устойчива.

Если же , то может быть два случая:

а) Общее решение системы (1) имеет вид . В этом случае точка покоя  устойчива по Ляпунову, но не является асимптотически устойчивой. Отметим, что данная ситуация имеет место, когда матрица  нулевая . В данном случае все точки плоскости  являются точками покоя, устойчивыми по Ляпунову.

б) Общее решение системы (1) имеет вид

.

Точка покоя  неустойчива.

В этом случае .

Пример 2. Выяснить характер точки покоя системы

Составим характеристическое уравнение

.

Его корни . Значит, точка покоя  является устойчивым узлом.

Пример 3. Какого типа точку покоя имеет система

Характеристическое уравнение

имеет комплексные корни . Действительная часть этих сопряженных корней положительна, поэтому точка покоя  является неустойчивым фокусом.

Замечание 2. Если матрица  симметрична, то, как мы знаем, характеристическое уравнение имеет только действительные корни. Кроме того, мы знаем, что

.

Так как симметричная матрица порождает квадратичную форму эллиптического, гиперболического и параболического типа, то мы систему дифференциальных уравнений (1) в этом случае будем называть

эллиптической, если ,

гиперболической, если ,

параболической, если .

Из изложенного выше ясно, что если система (1) эллиптическая, то точка покоя будет устойчивым узлом, если . Это возможно, когда .

Если же , то точка покоя будет неустойчивым узлом .

Отметим, что в эллиптическом случае числа  и  одного знака.

Если система (1) гиперболическая , то точка покоя всегда неустойчива (седло).

Если система (1) параболическая, то точка покоя устойчива, когда , и неустойчива, когда .

Пример 4. Выяснить характер точки покоя у систем:

а)

б)

в)

Во всех примерах матрица  симметрична.

Система а) эллиптическая, потому что . Так как , то точка покоя - устойчивый узел.

Система б) гиперболическая, так как . Точка покоя – седло.

Система в) параболическая, потому что . Так как , то точка покоя неустойчива.

Замечание 3. Можно доказать (так же как это сделано при ), что точка покоя заведомо устойчива по Ляпунову (асимптотически устойчива) для линейной однородной системы из  уравнений с постоянными коэффициентами

,

если все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные действительные части.