§ 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

В этом параграфе рассматривается два примера решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью степенных рядов. Коэффициентами их являются некоторые многочлены.

Второй пример посвящен важному в математике и ее приложениях дифференциальному уравнению Бесселя. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они, как мы увидим, разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Пример 1. .

В данном случае , т.е. является многочленом первой степени относительно . Будем искать решения в виде ряда

.                                         (1)

В силу начального условия  получаем, что . Из условия , получаем . Дифференцируя формально данный ряд почленно два раза и подставляя в уравнение, получаем

.                        (2)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в левой и правой частях (2), получим:

 , откуда

, откуда

, откуда

, откуда

, откуда

Так как у нас , то все коэффициенты

.

Далее

.

Итак,

 .                                (3)

По признаку Даламбера радиус сходимости этого ряда равен бесконечности. Следовательно, все наши операции были законными и сумма ряда при всех значениях  является решением уравнения.

Пример 2. Уравнение Бесселя:

.                                  (4)

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Будем искать частное решение (4) в виде обобщенного степенного ряда

.                           (5)

Дифференцируя (5) два раза почленно и подставляя в (4), получим

,

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

                                        (6)

Коэффициент  при низшей степени  будем считать отличным от нуля, тогда первое уравнение в (6) дает

.

Пусть пока . Тогда из второго уравнения (6) получаем , т.е. , а, следовательно, и все коэффициенты с нечетными номерами равны нулю . Далее

                            (7)

При  ( - не целое) таким же образом получаем

.

Таким образом, при  решение уравнения (4) запишется так:

.                                      (8)

Введем функцию (см. ниже § 2.15, пример 3)

,

называемую гамма-функцией Эйлера. Легко проверить, что  и что для целых , .

Для отрицательных ,  определяется по-другому, но свойство  сохраняется. Если выбрать произвольное постоянное , то (8) запишется

.                                           (9)

При  ( - не целое), выбирая постоянное , аналогично получим

.                                        (10)

Функции  и  называются функциями Бесселя первого рода порядка  и  соответственно.

Ряд (9) сходится для всех , а ряд (10)  и оба они допускают двукратное почленное дифференцирование, следовательно,  и  - решения уравнения Бесселя (4).

Если  - не целое число, то функции  и  линейно независимы, так как их ряды начинаются с различных степеней  и линейная комбинация

только при . Поэтому общее решение (4) в этом случае имеет вид

.

Интересно отметить, что при  ( - целое число) функция  выражается через элементарные функции. Например, при  имеем

.

Но

.

(см. пример 3 § 2.13).

Таким образом,

.

Если  - целое число, то можно показать, что

,

т.е. эти функции оказывается линейно зависимыми  при отрицательных целых  и  обращается в бесконечность. Поэтому за второе линейно независимое решение надо брать какую то другую функцию. Обычно берут функцию Бесселя второго рода . Эта функция является некоторой комбинацией функций  и :

 

( - не целое и стремится к ).

Замечание 1. Таким образом, общее решение уравнения (4) при  натуральном имеет вид

,

где  - произвольные постоянные. Заметим, что функция  не ограничена в окрестности . Например,

,

где  - постоянная Эйлера .

Поэтому любое решение уравнения (4), ограниченное в окрестности , имеет вид , т.е. для него .

Приведем графики функций Бесселя (рис.17) (четной) и  (нечетной).