§ 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера

Если струна очень длинная, то на колебания, возникающие где-то в ее середине, концы струны будут оказывать малое влияние.

Поэтому, рассматривая свободные колебания неограниченной струны, мы должны решить уравнение

                                   (1)

только при начальных условиях

,                       (2)

.                     (3)

Такая задача называется задачей Коши или задачей с начальными условиями.

Эту задачу удобно решить следующим образом. Введем новые переменные

, ,            (4)

тогда уравнение (1) перейдет в уравнение

                  (5)

Решением уравнения (5), очевидно, является функция

,

где  и  - произвольные функции, которые мы будем считать дважды дифференцируемыми.

Возвращаясь к старым переменным, получаем решение уравнения (1) в форме

.                      (6)

Непосредственным дифференцированием (6) легко убедиться, что это действительно так. Имеем

,

,

,

,

т. е.

.

Полученное решение (6), зависящее от двух произвольных функций, называется решением Даламбера.

Используя начальные условия, найдем функции  и :

,              (7)

.      (8)

Интегрируя (8) на отрезке , получим

,        (9)

где  - произвольная постоянная. Из (7) и (9) находим

             (10)

Теперь решение задачи Коши запишется

,

или

.     (11)

Формула (11) называется формулой Даламбера.