§ 5.12. Применение преобразований Фурье

Ниже даются примеры приложения преобразований Фурье при решении задач математической физики. Но сначала сделаем несколько общих замечаний.

Пусть функция  имеет на луче  вторую непрерывную производную и выполняются условия

,  .

Тогда

,

и мы доказали равенство

          (1)

Аналогично

,

т. е. имеет место равенство

.                 (2)

Конечно, мы предполагаем, что входящие в равенства (1) и (2) несобственные интегралы на  существуют.

5.12.1. Уравнение теплопроводности. В качестве примера применения синус-преобразования рассмотрим уравнение теплопроводности (см. § 5.5) для полубесконечного стержня:

     (3)

при граничном условии

 при                       (4)

и начальном условии

 при                         (5)

Считаем, что ,  при . Это не противоречит физическим соображениям. Поэтому мы находимся в условиях возможности применения синус-преобразования.

Итак, пусть

             (6)

- синус-преобразование искомого решения поставленной выше задачи.

Умножая уравнение (3) на  и интегрируя по  в пределах от 0 до , получим (учитывая (4)-(6))

               (7)

 при .                               (8)

Таким образом, мы свели задачу к решению обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Ограниченное решение уравнения (7), удовлетворяющее условию (8), имеет вид

.

Формула обращения (см. (3) § 4.13) дает

.  (9)

Как нам известно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 6.10), интеграл  сходится и, более того (см. ниже пример 2 § 6.14),

.                        (10)

Поэтому

.         (11)

Полезно проверить, что функция (11) действительно удовлетворяет нашему уравнению. При проверке необходимо обосновать законность дифференцирования по параметру соответствующих несобственных интегралов.

При  интеграл в правой части (11) равен , в силу (10). Поэтому выполняется начальное условие (5).

При  этот интеграл равен нулю и , т. е. выполняется граничное условие (4).

Интеграл в (11) при  сходится, потому что

.

Продифференцировав формально равенство (11) по переменной , получим

. (12)

Чтобы обосновать законность формального дифференцирования при , надо задать произвольный отрезок  изменения , где , и доказать, что интеграл (12) равномерно сходится на этом отрезке при фиксированном  (см. теорему 2 § 2.15).

Так как , то при фиксированном  выполняется неравенство

,

где интеграл в правой части сходящийся и не зависит от . Но тогда интеграл (12) равномерно сходится на  и формальное дифференцирование (11) законно, и формула (12) действительно имеет место (см. § 2.15, с. 198).

Подобным образом обосновывается законность формального дифференцирования при получении частной производной .

Аналогичным образом, используя комплексное преобразование Фурье, можно решить задачу теплопроводности для бесконечного в обе стороны стержня  (см. § 5.6, где решение задачи получено методом Фурье разделения переменных).

5.12.2. Уравнение колебания неограниченной струны. Как мы установили в § 5.7, уравнение колебания струны имеет вид

           .               (13)

Будем решать уравнение (13) при начальных условиях

                 .             (14)

Мы предполагаем, что функция  такова, что все выкладки, которые будут производиться ниже, законны.

Пусть

- комплексное преобразование Фурье (обратное) функции .

Интегрируя по частям (в предположении, что  и  обращаются в нуль при ), получаем

.                        (15)

Умножая уравнение (13) на  и используя начальные условия (14), интегрируя по  в пределах от  до , используя (15), получим вспомогательное уравнение

          .                       (16)

Начальные условия запишутся

      .           (17)

Решая уравнение (16) (обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами), получим

.

Формула обращения (см. (19) § 4.12) дает

.

Таким образом, мы получили, что

,

т. е. получили формулу Даламбера для данной задачи (см. (11) § 5.8).