§ 5.11. Интеграл энергии (Дирихле)

В пространстве  пусть задан достаточно гладкий замкнутый контур , определенный в параметрической форме уравнениями

, ,  .    (1)

Проекцию  на плоскость

,                 (2)

обозначим через . Будем считать, что  проектируется на плоскость  взаимно однозначно, т. е. контур  самонепересекается и ограничивает некоторую область  плоскости  (рис. 127).

Рис. 127

Пусть на  натянута мембрана, т. е. пленка, работающая на растяжение, но не на изгиб. Требуется найти ее уравнение

 .                   (3)

Край мембраны закреплен на , поэтому функция  удовлетворяет граничному условию

  .       (4)

Можно доказать, что потенциальная энергия мембраны, с точностью до множителя, характеризующего ее физические свойства, выражается кратным (двойным) интегралом

,                (5)

который называют интегралом Дирихле функции .

Если при помощи внешних сил мембране придать другую форму

  ,

оставляя ее закрепленной в , то ее энергия будет равна

,                 (5')

а сама она будет по-прежнему удовлетворять граничным условиям

  .                      (4')

В этом состоянии она будет еще больше напряжена, поэтому .

Следовательно,  можно определить как такую функцию, интеграл Дирихле которой обращается в минимум среди интегралов энергии для всевозможных указанных функций :

.                        (6)

Введем класс  функций , непрерывных на , имеющих непрерывные частные производные на  и удовлетворяющих граничным условиям таким же, как :

.

Функций , принадлежащих классу , бесконечное множество. Одна из них есть искомая функция , обращающая  в минимум среди всех :

.                  (7)

Отметим, что если каждый функции  из некоторого класса функций  в силу некоторого закона приведено в соответствие число , то говорят, что  есть функционал, определенный на классе функций .

Интеграл Дирихле  является примером функционала, определенного на классе функций .

Для функционалов, так же как для обычных функций, можно рассматривать теорию экстремумов, называемую вариационным исчислением. Приращением или вариацией аргумента функционала  называется разность между двумя функциями из класса :

.

По аналогии с понятием дифференциала функции

(где  - произвольное действительное число) можно ввести понятие вариации функционала

.

Говорят, что функционал F(f) достигает минимума (максимума) на функции , если  . Имеет место утверждение: если функционал, имеющий вариацию , достигает минимума (максимума) на функции , то

.

В самом деле, при фиксированных  и  функционал  является функцией только от одного переменного , которая при  достигает минимума (максимума), следовательно,  или , т.е.

.                     (8)

Таким образом, условие (8) есть необходимое условие экстремума функционала.

Вернемся снова к интегралу Дирихле. Введем еще вспомогательный класс  функций , непрерывных на , имеющих непрерывные частные производные на  и равных нулю на :

.

Если функция  имеет вид

  ,

то, очевидно, она принадлежит к . Обратно, всякую функцию  можно записать в виде

  ,

потому что

.

Поэтому равенство (7) можно еще записать в виде

.                     (9)

Задача о нахождении минимума (9) называется вариационной задачей. Функции  называют вариациями (вариациями аргумента функционала ).

Для функции  достигается минимум интеграла Дирихле в классе : прибавление к  произвольной вариации  выводит интеграл Дирихле из минимума - он становится большим.

Зададим произвольную функцию . Если помножить ее на какое-либо число , то получим снова функцию , поэтому , . Но

,                       (10)

где мы ввели обозначение

.

Так как , то имеет место неравенство  для любых , которое обращается в равенство при . Поэтому функция  от  обращается в минимум при .

Рис. 128

Но тогда (см. (10); см. также (8))

,

и мы доказали, что искомая функция  удовлетворяет уравнению

или уравнению

                        (11)

для всех . Уравнение (11) называют уравнением в вариациях.

Чтобы вычислить интеграл

,

сперва произведем интегрирование по  при фиксированном . Интегрируя по частям, имеем (рис. 128)

,

где  есть сечение  прямой, состоящей из точек, имеющих ординату . На рис. 128  состоит из двух отрезков  и . Надо учесть, что функция  равна нулю в точках , лежащих на . Следовательно,

.

Аналогично, интегрируя сначала по , а затем по  получим

.

В таком случае из (11) следует, что

                                 (12)

для всех , где  - оператор Лапласа. Но тогда

            .

В самом деле, если допустить, что  хотя бы в одной точке , то в силу непрерывности функции  существует круговая окрестность  точки  радиуса , где функция  сохраняет знак числа , которое мы будем считать положительным. Тогда, взяв в качестве функции  функцию

получаем, что

,                  (5)

что противоречит (12).

Итак, мы доказали, что функция , описывающая мембрану, удовлетворяет на  уравнению Лапласа, т. е.  - гармоническая функция на . Вопрос о нахождении  свелся к задаче Дирихле: требуется найти гармоническую на  функцию , непрерывную на  и удовлетворяющую граничному условию (4).

Примечание. Мы считаем само собой разумеющимся тот факт, что функция  имеет на  непрерывные производные второго порядка, чтобы было законно производить вычисления, приведенные выше.

На самом деле, это имеет место во всяком случае, если функции  имеют непрерывные производные по параметру .