§ 2.7. Замена переменных. Общий случай

Ограничимся сначала двумерным случаем. Зададим две функции

,                                             (1)

имеющие непрерывные производные на замыкании  ограниченной области с кусочно-гладкой границей. Будем считать, что преобразование (1) отображает  на некоторую область  с кусочно-гладкой границей взаимно однозначно.

Зададим функцию , непрерывную на  либо ограниченную на  и непрерывную всюду, исключая отдельные точки и кусочно-гладкие линии.

При этих условиях формула (5) § 2.6 замены переменных в кратном интеграле сохраняется, но роль определителя  теперь уже играет определитель Якоби

.                        (2)

Определитель , о котором шла речь в § 2.6, тоже можно рассматривать как якобиан линейной системы

.

В трехмерном случае формула замены переменных в кратном интеграле выглядит следующим образом:

,                            (3)

где

,                          (4)

- непрерывно дифференцируемые функции на замыкании  области  с кусочно-гладкой границей и

.

При этом предполагается, что область  отображается на  при помощи (4) взаимно однозначно. По-прежнему предполагается, что  непрерывна на  или ограничена на  и непрерывна на  исключая конечное число точек, кусочно-гладких линий и кусочно-гладких поверхностей.

Рис.41                                                 Рис.42

Рис. 43                                                                Рис. 44

На рис. 41, 42 изображены области  и  в плоскостях, соответственно  и . Прямоугольная сетка, делящая плоскость  на квадраты  со стороной длины , переходит в криволинейную сетку, делящую  на криволинейные параллелограммы .

Рассмотрим произвольный квадрат  (рис. 43). Он отображается при помощи преобразований (1) на криволинейный параллелограмм  (рис. 44). Из вершины , имеющей координаты  выпущены векторы, касательные к сторонам» :

( угловой коэффициент касательной к кривой  при фиксированном  равен ). Эти векторы заменяют соответствующие «стороны» с точностью до бесконечно порядка (при ). Параллелограмм , построенный на этих векторах, имеет точно вычисляемую площадь

.

Можно аккуратно показать, что площадь (двумерная мера) криволинейного параллелограмма  имеет вид

,

где величина  стремится к нулю при  и притом равномерно для всех квадратиков . Для каждого квадрата  величина  зависит от  и стремится к нулю . Равномерность стремления проявляется в том, что для любого  можно указать такое , что

.

Рассмотрим интегральную сумму функций , соответствующую разбиению , как на рис. 42. При этом мы берем сумму по «полным» , т.е. таким, которые соответствуют квадратам , полностью принадлежащим к . Тогда

Здесь  - произвольная точка, принадлежащая к , а  - соответствующая ей при помощи (1) точка, очевидно, принадлежащая к . Знак , обозначает, что сумма распространена на полные квадраты . Далее

,

откуда видно, что

.

Итак, формула (2) доказана.