§ 2.8. Полярная система координат в плоскости

Луч, выходящий из заданной точки , называется полярной осью, а. точку  полюсом полярной системы координат (рис. 45). Произвольная точка  плоскости имеет полярные координаты , где  - расстояние от  до , а  - угол между векторами (направленным отрезком)  и полярной осью, отсчитываемый от последней против часовой стрелки.

Введем прямоугольную систему координат, у которой положительная ось  совпадает с полярной осью (рис. 46).

Рис. 45                                                                Рис.46

Система уравнений

                                                          (1)

осуществляет преобразование полярных координат в декартовые (прямоугольные). Правые части в равенствах (1) - непрерывно дифференцируемые функции с якобианом

.                                               (2)

Уравнение

,

где  - непрерывная на отрезке  функция, определяет в полярных координатах кривую  - геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Будем считать, что . Тогда кривая  такова, что любой луч, выходящий из полюса  под углом  к оси , где  пересекает  в одной точке (рис.47).

Рис.47

Зададим в плоскости  область , ограниченную лучами  и кривой . При высказанных условиях любая точка  соответствует при помощи уравнений (1) только одной паре , где . Пусть теперь на замыкании  нашей области задана непрерывная функция  от  или она может быть ограниченной на  и непрерывной всюду, исключая отдельные точки и гладкие линии. Тогда имеет место равенство

.                                (3)

Согласно формуле (2) § 2.7 мы заменили  через  посредством равенства (1) и ввели в качестве множителя абсолютную величину якобиана . Для области  пар , соответствующей исходной области , сразу же расставлены пределы - сначала интегрируем по  от 0 до , а затем по  от  до .

Пример 1.

Мы следовали формуле (3). Надо учесть, что область, определяемая в декартовых координатах неравенством , в полярных координатах определяется неравенством .

Формулу (3) можно получить из естественных соображений, не прибегая к общей формуле (2) § 2.7.

Плоскость  разбиваем на элементарные фигуры близкими концентрическими окружностями и выходящими из полюса полярной системы лучами (рис. 48). Площадь произвольной элементарной фигуры (возле точки ) или, как говорят, элемент площади в полярных координатах, равна с точностью до бесконечно малых высшего порядка  (заштрихованная фигура на рис. 48 может быть приближенно принята за прямоугольник со сторонами  и ). Поэтому, если просуммировать по этим элементам, то получим

,

где

.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Переходя к полярным координатам (рис. 49), получаем

Рис. 48                                                       Рис.49