§3.11. Интеграл по ориентированной плоской области

В § 3.6 мы ввели понятие интеграла от  по ориентированной области, принадлежащей плоскости . Именно,

.

Полезность этих определений можно видеть из следующего факта. Зададим две плоскости, где заданы прямоугольные системы координат  и , одинаково ориентированные. Пусть  обозначает ориентированную область плоскости  с кусочно-гладкой (ориентированной) границей , и пусть непрерывно дифференцируемое преобразование

                                        (1)

отображает взаимно однозначно область  на область  плоскости  и  на границу  области . Будем предполагать, что якобиан

.

При этом преобразовании обход  индуцирует на  вполне определенный обход и  можно считать ориентированной областью.

Если , то при переходе от  к  ориентация  не меняется.

Если же , то обходы  и  противоположны.

Из сказанного следует, что для любой функции , непрерывной на замыкании  ориентированной измеримой области ,

,

где  обозначает соответствующую  ориентированную область. В этой формуле замены переменных якобиан не пишется под знаком абсолютной величины.

Поясним сказанное относительно связи ориентации  со знаком . В прямоугольной системе координат  зададим два неколлинеарных вектора  и . Если  определитель

положителен, то это указывает на тот факт, что система  ориентирована так же, как оси  (рис. 96).  Если же , то система  ориентирована противоположно (рис. 97).

Преобразование (1) отображает прямоугольную сетку плоскости  в криволинейную (рис. 98—100). При этом могут иметь место два характерных отличных случая отображений, изображенных на рис. 99 и 100.

Квадрат  переходит в криволинейный параллелограмм , вектор  переходит с точностью до бесконечно малых высшего порядка в вектор касательной к дуге  в точке , определяемой вектором , а вектор  - вектор касательной к дуге  в точке , определяемой вектором . Если определитель , то расположение этик векторов будет таким, как на рис. 99, а это приводит к тому, что направления обхода у  и  совпадают, а следовательно, и обхода  и .

Если же , то расположение касательных векторов к  и  друг к другу меняется не противоположное, что влечет за собой (рис. 100) тот факт, что обходы у  и  делаются противоположными.

Аналогично определяются интегралы для областей  и , определенных на других координатных плоскостях .

Рис. 96                                                             Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99                                                    Рис. 100