§3.10. Система координат и ориентация поверхности

В трехмерном пространстве имеются две существенно различные прямоугольные системы координат, изображенные на рис. 90 и 91. Отличие друг от друга заключается в том, что невозможно осуществить такое движение одной из систем, чтобы в результате его оказались совмещенными точки  и одноименные положительные полуоси  обеих систем.

Первую систему (рис. 90) называют правой, вторую (рис. 91) – левой.

Рис. 90                                                   Рис.91

Если смотреть снизу вверх вдоль положительной оси , то для совмещения положительной оси  с положительной осью  в кратчайшем направлении в случае рис. 90 нужно вращать ось ; в плоскости  слева направо (по часовой стрелке), а в случае рис. 91 - справа налево (против часовой стрелки).

С каждой из рассматриваемых двух систем естественно связать «штопор» - комбинацию, состоящую из единичного, направленного в положительном направлении оси , вектора и перпендикулярного к оси  кружка (головки штопора), на границе которого (окружности) задано направление обхода от оси  к оси  в кратчайшем направлении.

Если в случае рис. 90 считать, что ось  есть ось винта (штопора), скрепленного с головкой и имеющего «правую нарезку», то, вращая головку в направлении стрелки, мы заставим штопор двигаться в направлении положительной оси  (правый штопор). Того же эффекта мы достигнем в случае рис. 91, если ось будет осью винта, имеющего левую нарезку (левый штопор).

Головка штопора может быть искривлена, т.е. может представлять собой кусок гладкой поверхности, не обязательно плоской, но такой, что ось  есть нормаль к этому куску в точке . И в этом случае комбинация из такой головки, на которой задано направление обхода, и единичной нормали образует штопор - правый или левый.

Наконец, можно представить себе такой штопор правый или левый с нормальным вектором, идущим в произвольном направлении, не обязательно совпадающим с осью . Для дальнейшего будет важно представить себе следующую конструкцию. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат (правая или левая) и ориентированная поверхность . Таким образом, из каждой точки  выпущена единичная нормаль , непрерывно зависящая от . Шар  достаточно малого радиуса с центром в точке  высекает из поверхности  некоторый связный кусок , содержащий точку . На контуре (на краю)  этого куска определим направление обхода так, чтобы вектор  и кусок  образовали штопор, ориентированный так же, как данная система координат, т. е. если система координат правая (левая), то и штопор должен быть правым (левым).

Если поверхность  имеет край , то созданная конструкция естественным образом приводит к определенному направлению обхода на  (рис. 92). Обратим, например, внимание на точку  контура . В ней направление обхода по  и по замкнутому искривленному принадлежащему  кружочку  совпадают.

Если бы данная поверхность была ориентирована противоположным образом, а система координат осталась прежней, то определенные выше направления обхода нужно было бы заменить на противоположные.

Рис. 92                                             Рис. 93

На рис. 93 нарисована ориентированная поверхность с краем, состоящим из двух замкнутых гладких кривых , и .

Отметим еще следующий факт. Пусть ориентированная гладкая поверхность  разрезана на две ориентированные так же поверхности  гладкой дугой  (рис. 94). Тогда направления обхода контуров  и  вдоль дуги  противоположны.

Эти замечание будет руководящим для того, чтобы правильно определить понятие ориентированной кусочно-гладкой поверхности, т. е. поверхности, которую можно разрезать на конечное число гладких кусков с кусочно-гладкими краями.

Кусочно-гладкая поверхность  называется ориентированной, если каждый из ее гладких кусков ориентирован и возникающие при этом направления обхода контуров этих кусков согласованы в том смысле, что вдоль каждой дуги, где два таких контура совпадают, направления их обхода противоположны.

На рис. 95 нарисован куб, поверхность которого ориентирована при помощи ее внешней нормали.

Пусть  есть ориентированная гладкая поверхность; таким образом, из каждой точки  выпущена единичная нормаль  к  в , непрерывно зависящая от . Пусть  есть гладкий кусок . Будем считать, что  есть вектор, скалярная величина которого равна площади  куска , а направление определяется вектором , где  есть какая-либо точка . Таким образом, .

Этим, конечно, вектор  однозначно не определен. Однако если диаметр  мал, то направление  не выходит за пределы некоторого малого конуса, и если  есть переменный кусок, постоянно содержащий фиксированную точку , то, очевидно, , где  есть диаметр , независимо от того, как выбиралась точка  для каждого .

Рис. 94                                                   Рис.95

Дифференциальный элемент ориентированной поверхности  в точке  естественно считать вектором , который, таким образом, равен произведению дифференциального элемента площади  в точке  на вектор единичной нормали , определяющей ориентацию .

Если  задана уравнением

,

то  определяется одним из двух равенств

                                                           (1)

и скаляр . А вектор

.                                                  (2)

Если мы хотим, чтобы при преобразовании параметров  в параметры  не изменялся знак в этих выражениях, то нужно, чтобы якобиан преобразования  был положительным. Действительно,

Таким образом, формула (1) со знаком «+»! для единичной нормали  (а вместе с ней и формула (2)) инвариантна только по отношению к преобразованиям параметров, имеющих положительный якобиан.

Относительно произвольной ориентированной в пространстве  поверхности не имеет смысла говорить, что она ориентирована положительно или отрицательно. Другое дело, если поверхность плоская, принадлежащая к одной из координатных плоскостей.

Ориентированная область , принадлежащая к плоскости , называется положительной (отрицательной) и обозначается символом , если соответствующая области  единичная нормаль , где  - орт оси . Это определение согласуется с определением, данным в § 3.6. Нужно только считать там, что мы смотрим на плоскость  со стороны положительных .

Если заменить в этом определении  соответственно на  или , а также  - соответственно на орт  оси  или орт  оси , то получим определения для областей, принадлежащих плоскостям .

Для областей , принадлежащих  или  или , надо соответственно  заменить на .