ГЛАВА 4 РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

§4.1. Тригонометрические ряды

Функция  называется периодической периода , если она определена на всей действительной оси и для нее выполняется равенство

для всех .

Например, тригонометрические функции

                                   (1)

имеют период .

На самом деле функции  и  для каждого натурального  имеют период . Таким образом  при . Постоянная же  имеет как угодно малый период. Однако все функции последовательности (1) имеют период .

Периодическая функция

изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени  координату  (на оси ). Функция (периода )

,                                                    (2)

где  и  - постоянные,  - натуральное, определяет гармоническое колебание точки с амплитудой , фазой  и частотой .

Функция (2) имеет период , т. е. одно полное колебание происходит за промежуток времени . Количество же колебаний в единицу времени равно . Именно число  нужно было бы назвать частотой колебания, но обычно частотой (колебания) называют число .

Отметим, что функция

,

где  - натуральное число, определяет гармоническое колебание, потому что

где

,

a  определяется однозначно из соотношений

.

Примером гармонического колебания может служить колебание пружинного маятника (рис. 108). Пусть пружина, подвешенная в точке , имеет на нижнем ее конце груз массы , координата центра тяжести которого в момент  равна . Грузу в момент  придается импульс  по направлению оси . В результате груз будет колебаться. Отклонение его от точки равновесия обозначим через . Так как сила, действующая на груз в первом приближении, равна по закону Ньютона , то

.

Рис. 108

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

,

где  - произвольные постоянные. Так как

,

то

,

и мы получили, что центр тяжести груза совершает гармоническое колебание.

С периодическими движениями (колебаниями) приходится иметь дело в самых различных областях знания - в теории упругости, акустике, радиотехнике, электротехнике - и всюду простейшими периодическими движениями являются гармонические колебания.

Конечная сумма гармонических колебаний с данным периодом  представляет собой сложное колебание

.                                    (3)

Нулевой член в этой сумме мы записали в виде . Мы увидим, что это удобно.

Наконец, более сложное периодическое колебание (движение) можно получить как сумму сходящегося (для всех ) ряда

,                                     (4)

называемого тригонометрическим рядом.

Числа  и  называются коэффициентами тригонометрического ряда (4), а отдельные его слагаемые

называются членами ряда (4) или его гармониками (соответствующими частоте ).

Пример 1. На рис. 109-112 изображены графики первых четырех частичных сумм ряда

и график функции

Рис. 109

Рис. 110

Рис. 111

Рис. 112

На рис.109 (наряду с графиком ) изображена функция . На рис.110 штриховыми линиями нарисованы графики  и  и сплошной линией –

.

На рис.111 штриховыми линиями нарисованы графики  и  и сплошной линией –

и т.д. Уже из рис. 112 видно, что надо полагать

.                                      (5)

Так оно и есть на самом деле. По этому поводу см. далее § 4.4. Функции  для любого  имеют период :

.

Продолжим функцию  на всю действительную ось периодически с периодом . Тогда она будет иметь график, как на рис. 113. Так как равенство (5) выполняется для всех  и функции  и  периода , то

.

Рис. 294

Пример 2. На рис.114 изображены три периодических периода  функции

 (сплошной линией),

 (штрихами),

 (точками).

Для больших  график суммы  схематически (не точно) изображается на рис. 115, что наводит на мысль, что предельная функция

есть периодическая (периода ) функция, определяемая равенствами

Это так и есть (см. § 4.4).

Рис. 114

Рис.115