§ 1.6. Доказательство теоремы существования решения диффереацнального уравнения первого порядка

Пусть задано уравнение

                                                                   (1)

где функция  непрерывна на прямоугольнике

и имеет ограниченную частную производную , удовлетворяющую неравенству .

Нам надо доказать, что на отрезке  существует и притом единственное решение  дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее условию

                                                                   (2)

где

                               (3)

При этом  непрерывно дифференцируема на . Дифференциальное уравнение (1) с условием (2) эквивалентно следующему интегральному уравнению:

                                                  (4)

В самом деле, пусть непрерывная функция  является решением (4), тогда дифференцируя тождество (4), получим

 и, очевидно, .

Таким образом, функция  удовлетворяет уравнению (1)  с условием (2).

Обратно, пусть является решением (1):

.

Тогда, интегрируя это тождество в пределах от  до , получим

или

т. е.  является решением (4).

В дальнейшем мы будем исследовать уравнение (4).

Обозначим через  множество непрерывных функций , заданных на отрезке  и удовлетворяющих на нем неравенству .

В  введем  расстояние

.

Таким образом, , есть метрическое пространство. Это полное пространство. В самом деле, если последовательность функций  удовлетворяет в смысле введенной метрики условию Коши (является фундаментальной последовательностью), то, как мы знаем, эта последовательность сходится равномерно на отрезке  к некоторой непрерывной на этом отрезке функции (см. § 1.5).

Для функций  выполняется неравенство

,

которое после перехода к пределу при  сохраняется:

.

Но тогда , что показывает, что  - полное пространство.

Равенство

,                                       (5)

приводит в соответствие каждой функции  некоторую функцию . В самом деле, есть , то  есть непрерывная функция, график которой принадлежит к прямоугольнику

,

поэтому в силу непрерывности  на , правая часть равенства (5) есть непрерывная функция от , т. е.  есть непрерывная функция на . Далее

,

что показывает, что .

Итак, мы можем считать, что равенство (5) определяет оператор

,

отображающий полное пространство , в полное пространство . Этот оператор сжимающий, потому что, если

,

то

               (6)

где число  удовлетворяет неравенству , потому что по условию . Из (6) следует, что

.

Но тогда, как мы знаем, в  (см. § 1.5) существует единственная функция (неподвижная точка) , для которой

,

иначе говоря, которая удовлетворяет уравнению (4), а, следовательно, уравнению (1) и условию (2).

Применяя метод итераций, можно получить приближенное решение уравнения (1):

,                    (7)

где .

На основании формулы (10) § 1.5 оценка приближения имеет вид

.

Существуют и другие приближенные методы решения задачи Коши.

Весьма простым является метод Эйлера (см.  § 1.7).

Остается еще доказать, что если  имеет непрерывные производные по  и  до -го порядка на , то указанное решение  уравнения (1) имеет непрерывные производные по  до -го порядка на .

В самом деле, имеет место тождество

.            (8)

Так как функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), то она всюду на  имеет производную по  и потому непрерывна. Далее по условию  непрерывна по  и  на , поэтому правая часть (8) непрерывна по  на . Значит,  также непрерывна на .

Если , то правая часть (8) имеет непрерывную производную по переменной , значит, и левая часть тождества имеет непрерывную производную по . Следовательно, функция  имеет непрерывную производную второго порядка. Из тождества (8) находим

.                                   (9)

Применяя к тождеству (9) те же рассуждения, что и выше, найдем, что при  функция  имеет непрерывную производную третьего порядка на  и т.д.