§ 1.2. Общие понятия

1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти закон, связывающий независимые переменные и искомую функцию, но можно установить связь между этой функцией и ее производными, выражаемую дифференциальным, уравнением.

Если искомая функция зависит от одного переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным- Произвольное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка  имеет следующий вид:

.            (1)

Здесь  есть заданная (известная) функция от  переменных, обычно удовлетворяющая определенным условиям непрерывности и дифференцируемости, на которых мы сейчас останавливаться не будем, а  - функция от  - решение дифференциального уравнения, которую надо найти.

Решением дифференциального уравнения порядка  называется функция , имеющая на некотором интервале  производные  до порядка  включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Это значит, что выполняется тождество по :

.

Каждому решению, вообще говоря, соответствует свой интервал. Конечно, если функция , заданная на интервале , есть решение дифференциального уравнения (1), то эта функция, рассматриваемая на интервале  принадлежащем к , тоже есть решение уравнения (1).

В ближайших параграфах мы будем рассматривать дифференциальные уравнения, определяемые действительными функциями , и искать их действительные решения . Термин «действительный» будем опускать, считая его само собой разумеющимся. Впоследствии, когда мы будем изучать линейные дифференциальные уравнения, нам понадобятся также и их комплексные решения. Но об этом речь будет впереди.

Итак, мы будем называть действительные решения , обыкновенного дифференциального уравнения просто решениями этого уравнения.

Решение обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка по самому его определению есть функция , непрерывная на некотором интервале  вместе со своими производными до порядка  включительно и имеющая, кроме того, на  производную  порядка . Мы будем считать, что эта последняя производная тоже непрерывна на , не оговаривая это всякий раз особо.

График решения обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка будем называть интегральной кривой этого уравнения (см. далее замечание в § 1.3).

Впрочем, мы будем позволять себе решение дифференциального уравнения называть интегральной кривой, а интегральную кривую решением.

Так как эта глава посвящена только обыкновенным дифференциальным уравнениям, то не будет путаницы, если слово «обыкновенный» будет иногда опускаться.

Уравнения

могут служить примерами обыкновенных дифференциальных уравнений. Первое из них - третьего порядка, второе и третье - второго порядка, а четвертое - первого порядка.

Кстати заметим, что непосредственно видно, что второе уравнение не имеет вовсе действительных решений.

Существует термин - проинтегрировать дифференциальное уравнение. Это значит, что надо найти те или иные решения данного дифференциального уравнения. Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с необходимостью интегрировать входящие в это уравнение функции.