3. Оценки параметров модели и маргинальных вероятностей.

 Для реализации составных байесовских правил необходимо задать или оценить неизвестные значения параметров  и найти маргинальные вероятности  или математические ожидания значений сигналов. Ограничимся здесь только задачей обучения распознаванию или статистического оценивания параметров  при заданном выходном изображении  и соответствующем входном изображении . Нетрудно показать [13, 14], что гиббсовское PB представляет          одноэкстремальную функцию параметров  так что максимально правдоподобная оценка этих параметров  может быть, в принципе, получена методами стохастической аппроксимации. Такая оценка является байесовской при простой функции потерь от ошибок и равновероятных значениях параметров и достаточно естественно выводится в схеме вычислительного зрения на основе МАВ-решення. При использовании составного MMAB-решения аналогичная схема вывода дает оценку параметров , которая минимизирует составной риск BR :

. (3)

Здесь  - величина, полученная усреднением маргинальных вероятностей заданных значений выходных сигналов  по всему растру при заданном входном изображении  и параметрах . Так как  может быть многоэкстремальной функцией параметров , то простейший способ получить приближенную оценку (3) состоит в поиске локального минимума этой функции, ближайшего к начальному приближению . Максимально правдоподобная оценка может использоваться как такое начальное приближение. Аналогичная оценка типа (3), минимизирующая составной риск, может быть выведена и для АМО-решения.

Стохастическую релаксацию удобно рассматривать как последовательность макрошагов. На каждом макрошаге выполняется последовательный обход всех элементов растра  без повторения при случайном равновероятном выборе каждого очередного элемента. В каждом текущем элементе  случайным образом выбирается новое значение сигнала  при фиксированной остальной конфигурации сигналов изображения,  [6,]. Вероятности , с которыми выбираются значения сигнала  в элементе  при фиксированном остальном порождаемом изображении , входном изображении  и параметрах , т.е. переходные вероятности одного шага вдоль порождаемой марковской цепи изображений, определяются так, чтобы цепь имела в равновесном состоянии заданное PB . Мы ограничимся здесь так называемым "методом термостата", в котором переходные вероятности равны условным вероятностям значений сигналов в элементе в элементе растра  при фиксированной окрестности , вычисленным по РВ (1) и зависящим от потенциалов  на кликах ; , содержащих элемент растра :

. (4)

Порождая с помощью стохастической релаксации марковскую цепь изображений, можно оценить маргинальные вероятности просто по частотам значений сигналов  в каждом элементе растра [11, 13, 14]. Нетрудно показать, что маргинальные и переходные вероятности связаны соотношением:

,         (5)

в котором переходная вероятность рассматривается как скалярная случайная величина, функционально связанная с изображениями , ,имеющими PB . Это соотношение позволяет оценивать маргинальные вероятности также с помощью выборочных средних значений соответствующих переходных вероятностей на каждом макрошаге релаксации (эти оценки мало отличаются по своим статистическим показателям от частотных оценок, хотя и имеют в экспериментах несколько более высокую эффективность, т.е. меньшую дисперсию относительно искомых маргинальных вероятностей). Альтернативные подходы к оцениванию маргинальных вероятностей основаны на построении и приближенном решении системы нелинейных уравнений, которые связывают эти вероятности в элементе растра и его окрестности, исходя из соотношений типа (4), (5) при различных упрощающих предположениях [10].

Соотношение (5) позволяет также рассматривать функцию  как математическое ожидание определенных переходных вероятностей, усредненных по растру на макро шаге релаксации:

. (6)

Здесь  - значения сигналов для заданного выходного изображения . Это позволяет использовать для получения искомой оценки (3) в случае ММАВ-решения методы стохастической аппроксимации, если функция (6) и ее первые и вторые частные производные удовлетворяют соответствующим условиям сходимости в достаточно широкой окрестности локального максимума этой функции, ближайшего к начальному приближению .