2. Гиббсовские модели кусочно-однородных изображений.

В достаточно общем случае апостериорное    может быть выведено по априорным моделям с точностью до неизвестных управляющих параметров как гиббсовское :

, (1)

где нормирующий множитель имеет вид:

.

Здесь  обозначает подмножество элементов растра, в пределах которого сигналы полностью взаимодействуют между собой (в графе соседства элементов растра, дуги которого характеризуют попарные взаимодействия сигналов на растре, подмножеству  соответствует полный подграф, или клика элементов растра);  задаёт множество клик одного типа ;  обозначает множество типов клик;  представляет собой набор скалярных управляющих параметров  и  обозначает скалярную функцию значений сигналов, которая характеризует их взаимодействие на клике типа  и именуется обычно потенциалом взаимодействия. По предположению, клики одного типа имеют одинаковое пространственное расположение элементов растра и отличаются только параллельным переносом по растру. Все множество клик  определяет систему соседства на растре: любые два элемента растра считаются соседними, если их сигналы взаимодействуют, т.е. если они входят одновременно хотя бы в одну клику. Функция  определяет "энергию" вероятностного взаимодействия сигналов на клике : если параметр , то вероятность появления определённой конфигурации сигналов на клике уменьшается с уменьшением потенциала. В общем случае функции потенциала могут различаться для клик разного типа .

В соответствии с известной теоремой Хаммерсли-Клиффорда любое МСП, у которого отличны от нуля вероятности всех возможных конфигураций значений сигналов, можно представить с помощью некоторого гиббсовского  и, наоборот, каждому гиббсовскому  соответствует некоторое МСП. Для МСП с гиббсовским  типа (1) известен конструктивный способ порождения выборочных реализаций, который называется поэлементной стохастической релаксацией [6] и порождает стационарную марковскую цель конфигураций сигналов , имеющую равновесное  (1). На каждом шаге n случайным образом выбираются элемент растра и новое значение сигнала в этом элементе при фиксированной в остальном конфигурации сигналов на растре. Вероятности выбираемых значений сигнала вычисляются по  (1) и текущей конфигурации сигналов, причем в этих вычислениях не участвует множитель (2), который обычно неизвестен.

Кусочно-однородный черно-белый или многозональный снимок  может быть представлен с помощью двухуровневой вероятностной модели, в которую входят модели карты участников на уровне 1 (априорное  ), имеющие форму гиббсовского  (1) на обоих уровнях; . В общем случае можно ввести четыре варианта такой модели, для которых будем использовать аббревиатуры H/H, H/M, M/H, M/M, где вторая буква обозначает модель карты участников» первая буква - модели сигналов на участках, “H” соответствует случайному полю с независимыми сигналами (НСП), "M" - МСП [12, 13]. Уже простая многоуровневая логистическая модель карт участников с кликами порядка 1 (отдельный элемент растра) и 2 (пара ближайших смежных элементов растра с потенциалом взаимодействия, принимающим всего два значения: 0 для совпадающих и 1 для несовпадающих меток участков на клике) обладает достаточно высокой выразительностью в представлении различных форм участков [7, 9, 10-14,]. Объединяя эту модель с моделью НСП, описывающей постоянный или полиномиальный опорный сигнал в пределах участка, который искажен независимым аддитивным шумом с нулевым средним, или с моделями МСП типа гаусс-марковской, или некаузальной авторегрессионной модели, можно эффективно описать кусочно-постоянные или кусочно-полиномиальные зашумленные (Н/М) и текстурные (М/М) снимки [13, 14]. Добавляя клики порядка 2 с удалёнными элементами растра и многоуровневую логическую модель, т.е. вводя дальние взаимодействия наряду с ближними для смежных элементов растра, можно существенно расширить разнообразие форм порождаемых участков. Дальнейший рост способностей модели достигается при использовании клик более высоких порядков и потенциалов, которые зависят не только от меток, но и позиций меток на клике (т.е. от конфигурации меток). Модели МСП с дальними и ближними попарными взаимодействиями сигналов позволяют также описывать разнообразные текстурные снимки. На рис.1, 2 для сравнения показаны примеры искусственных и реальных текстур ("a") и результаты их моделирования ("b") с помощью подобной модели МСП, полученной путём обучения: интерактивного выбора характерных клик и автоматического оценивания управляющих параметров.

В этих моделях используется относительно меньшее число параметров по сравнению с более традиционными, например, авторегрессионными моделями случайных текстур.

Нетрудно показать, что многие операции локальной фильтрации сигналов изображения в пределах некоторого окна, скользящего по растру: , используемые для улучшения или сегментации входного изображения, можно описать как приближения к байесовским решениям для простых H/H и M/H моделей кусочно-однородных снимков. Здесь  обозначает окно с центром в элементе растра  и  задаёт операцию обработки в окне. При таких моделях обработку можно свести к известной статистической задаче разделения смеси распределений, например, к оцениванию математического ожидания сигнала на участке по смешанной выборке из окна, которая содержит как сигналы этого участка, так и "засоряющие" сигналы соседних участков, попавшие в пределы окна. Такая задача может решаться, с помощью робастных статистических оценок (ранговых, по усечённой выборке и др.) или методами статистического распознавания образов - самообучением и кластерным анализом сигналов.

За последние годы были предложены различные гиббсовские модели типа (1) для описания снимков, на которых однородные участки заданы контурами (граничными линиями) или разметкой элементов растра в пределах каждого участка. Некоторые из этих моделей рассмотрены в [3-15].

Рис. 1.

Рис. 2.

Простое и составные байесовские правила сегментации и улучшения изображений, представленных моделью (1), могут быть реализованы с помощью интерактивной поэлементной стохастической релаксации ;  или регулярной (детерминированной) релаксации ; ; , которая представляет собой ускоренный, но весьма приближенный аналог стохастической релаксации. Здесь  обозначает "виртуальное изображение" или промежуточную растровую информацию, полученную на каждой итерации .  представляет собой функцию, преобразующую эту промежуточную растровую информацию в сигналы, усреднение которых позволяет в пределе получить искомое выходное изображение,  обозначает операцию со случайным скалярным результатом, который подчиняется PB, функционально зависящему от конфигурации сигналов в окне,  обозначает аналогичную операцию с детерминированным результатом,  - математическое ожидание случайной величины.