Анализ каузальных моделей случайных полей на многомерных сетках

Рассмотренные стохастические разностные уравнения (3),(4) и эквивалентные им соотношения (5),(6) при заданных матричных коэффициентах , , , , дают полное описание линейных многомерных систем, находящихся под воздействием белого СП . При заданных вероятностных характеристиках СП  и начальных условиях формулы (3)÷(6) позволяют, в принципе, рассчитать любые вероятностные характеристики СП  или оценить их на основе статистического моделирования даже для случая неоднородных СП с изменяющимися , , , , . Однако получить какие-либо общие рекомендации к построению моделей неоднородных СП вида (3)÷(6) не удается из-за многообразия возможных видов определения матричных коэффициентов на n-мерной сетке . В связи с этим ограничимся частным, но важным для приложений классом однородных СП , для которых можно получить ряд полезных результатов.

Для однородного СП ковариационная функция (КФ)  зависит только от разности аргументов . Это позволяет после домножения уравнения (6) на  справа и нахождения математического ожидания получить следующее рекуррентное соотношение

,,        (7)

где  - единичный вектор k-й координатной оси. При заданных начальных условиях в виде набора функций  уравнение (7) позволяет последовательно рассчитать все другие значения . Например, для плоского СП  уравнение (7) переписывается в виде

, , (8)

С начальными условиями ,  и , заданными на границах области . При этом можно произвести рекуррентные расчёты значений КФ  по схеме, показанной на рис.4. Вместе с тем следует учитывать, что применение предложенной схемы расчёта КФ связано с определёнными трудностями задания таких начальных условий, которые соответствуют однородному СП.

Рис. 4

Другой вариант расчета КФ может быть основан на методах спектрального анализа. Для этого выполним n-мерное z-преобразование СП (3). При этом нетрудно получить следующую связь

между z-преобразованиями  и  СП  и, причем

    (9)

передаточная функция линейного фильтра (3); . В этом случае спектральная плотность СП  может быть представлена в виде

,  (10)

где ; . Наконец, с помощью обратного z-преобразования находим КФ случайного поля :

,

где ;  - единичная полуокружность:

 .

Для векторного представления (б) модели (3) изменится только формула (9) для передаточной функции:

.

Таким образом, представленные соотношения позволяют найти КФ однородных СП, порожденных рассмотренными стохастическими уравнениями (З)÷(6).

Рассмотрим в качестве примера двумерное СП, заданное одной из наиболее простых моделей

.

В этом случае передаточная функция (9) фильтра запишется в виде

,

и может быть легко найдена КФ для любых заданных значений коэффициентов [5]. Вместе с тем для одного частного случая, когда , анализ СП упрощается. Действительно, передаточная функция (11) приводится к виду

,

т.е. может быть представлена в виде произведения  передаточных функций  и  , соответствующих одномерным линейным системам. При этом и КФ R(TltT2) также равна произведению  КФ случайных последовательностей. Случайные поля дискретного аргумента, спектральные плотности которых могут быть факторизованы, , составляют наиболее простой объект для исследований. Двумерное разделимое поле впервые рассмотрено в работе [8]. В дальнейшем полученные результаты [8] были существенным образом расширены и обобщены на СП произвольной размерности [2]. Весьма важно, что применение этих результатов позволяет решить задачу синтеза модели, т.е. нахождения коэффициентов уравнений (3)÷(6) по заданным сечениям  КФ  вдоль соответствующих координатных осей . Действительно, предположим, что существуют стохастические разностные уравнения авторегрессии - скользящего среднего [1]

, ,         (12)

определяющие случайные последовательности с заданными нормированными КФ. Передаточные функции таких одномерных систем записываются в виде

, .

При этом передаточная функция n-мерного фильтра, определяющего СП с КФ , может быть найдена как произведение

.

С другой стороны, передаточная функция пространственного n-мерного фильтра (3) определяется соотношением (9). Приравнивая коэффициенты , ,  числителей и коэффициенты , ,  знаменателей при одинаковых степенях , , в формулах (3) и (9), получаем набор необходимых коэффициентов , полностью определяющих пространственный фильтр по одномерным прототипам [2].

Существенным недостатком рассмотренного метода построения моделей является значительное сужение класса СП. В частности, с КФ в виде произведения  невозможно описать изотропные СП с КФ . Вместе с тем при подборе соответствующих одномерных стохастических уравнений (12) удается получить приемлемые для приложений аппроксимации. Как показывает анализ, для получения близких к изотропным СП целесообразно выбирать уравнения (12) с кратными корнями соответствующих характеристических    уравнений . В качестве примера рассмотрим формирование n-мерного разделимого СП на основе следующих одномерных авторегрессий

, ,       (13)

характеристические уравнения  которых имеют корни , , кратности два.

Известно, что нормированные КФ случайных последовательностей (13) могут быть записаны в виде

,

где . Перемножая передаточные функции  одномерных систем (13), получаем передаточную функцию

,       (14)

соответствующую авторегрессионной пространственной модели (4). При этом передаточная функция (14) даёт возможность построить модель вида (3), определяющую n-мерное СП с КФ

.

Простой анализ полученной КФ на основе разложения в ряд Маклорена по степеням  показывает, что при  сечениями нормированной КФ  близкого к единице уровня  являются гиперэллипсоиды

с полуосями . При одинаковых параметрах , , , таким сечением будет гиперсфера радиуса . Для иллюстрации на Рис.5,а,б представлены две реализации различных двумерных СП в виде полутоновых изображений. При этом на рис.5,а показано изображение, соответствующее СП с КФ , а на рис.5,б - реализация СП, порожденного моделью (13),(14). Сравнение этих изображений позволяет сделать вывод о приближении реализаций СП, полученных с помощью каузальных моделей с кратными корнями, к реализациям изотропных СП.