Рекуррентное оценивание авторегрессионных случайных полей на фоне помех

Рассмотренные каузальные модели дают возможность представить СП , , в виде реакции многомерного фильтра, структура которого допускает рекуррентные вычисления на n-мерной сетке . Для случайных процессов с непрерывным и дискретным временем подобное представление изменяющихся параметров уравнениями состояния приводит к рекуррентным и, вместе с тем, строго оптимальным калмановским оценкам  информационных параметров при наблюдениях ,  на фоне помех . При этом структура фильтра Калмана ,  для скалярного и векторного случаев в точности соответствует структуре авторегрессионного уравнения , описывающего изменение информационного параметра.

а.

б.

В связи с этим возникает вопрос о существовании оптимальных и, вместе с тем, пространственно-рекуррентных оценок  случайных полей, заданных каузальными моделями (1)÷(6), при наблюдениях суммы , , гауссовского информационного СП  и белого гауссовского поля помех , , с нулевым средним и дисперсией . Ответ на этот вопрос будет отрицательным, если уравнение для рекуррентного оценивания искать в форме

, (15)

подобной уравнению состояния (4). Для однородных СП отрицательный результат можно пояснить следующим образом. Оптимальная линейная оценка  по наблюдениям ,  в общем случае записывается в виде , где ,  - весовые коэффициенты. При этом передаточная функция оптимального фильтра  с учетом выражений (9), (10) для спектральной плотности информационного СП принимает следующий вид:

.  (16)

Для того, чтобы получить оптимальное рекуррентное решение (15), необходимо факторизовать (16):

, (17)

где  – каузальная область; ; . B одномерном случае факторизация достигается простым разложением полинома в знаменателе (16) на множители. Именно поэтому для любых случайных последовательностей с дробно-рациональным спектром  может быть построена рекуррентная калмановская процедура оценивания. К сожалению, фильтрации СП в. знаменателе (16) степенная функция n переменных , ,…, , для которой нельзя применить основную теорему алгебры. Более того, можно утверждать, что представление (16) в разделимом виде общем случае невозможно. Действительно, факторизация (16) означала бы, что существует оптимальная рекуррентная оценка вида (15). Но весовая функция линейной системы (15) отлична от нуля только в одном квадранте  (рис.6).

Рис. 6

Таким образом, процедура (15) не использует часть уже имеющихся наблюдений, соответствующих квадранту , и поэтому в общем случае не может приводить к оптимальным оценкам.

Итак, при решении задач оценивания случайных полей на фоне помех необходимо либо отказываться от глобальной оптимальности, либо от идентичности структур оптимального фильтра и уравнений состояния (3)÷(6).

Несмотря на возможные и, вообще говоря, сколь угодно большие потери в эффективности, привлекательная идея использовать в качестве основы построения фильтра уравнения состояния (З)÷(б), предложенная в работе [8], анализировалась затем во многих публикациях [2]- Определенные трудности построения неоптимальных фильтров вида (15) связаны главным образом со сложностью определения изменяющихся коэффициентов , , , , минимизирующих дисперсию ошибки на каждом шаге, и необходимостью тщательного анализа потерь в эффективности фильтрации.

Строго оптимальное решение проблемы оценивания СП на Двумерной сетке было дано в работах Вудса и его коллег, обобщением которых является весьма содержательная статья [7]. Предложено привести задачу фильтрации двумерного СП к задаче калмановской фильтрации векторной случайной последовательности. Для этого в расширенный вектор состояния  следует включить элементы  всех строк (8), пересекающих область  локальных состояний системы (4) (рис.7).

Рис. 7

После введения расширенного вектора  уравнение (4) можно представить в виде , соответствующем векторной случайной последовательности и применить для решения задачи обычные уравнения Калмана. Однако число компонент вектора  даже для простейшей области  из двух точек будет равна числу элементов строки сетки . Например, при обработке небольшого изображения размером 256x256 элементов вектор  будет состоять из 256 компонент, а матрица  - из 256x256. Векторы и матрицы такого же размера будут входить и в уравнения фильтрации. Поэтому в работе [7] предлагается переход от оптимальной процедуры к квазиоптимальным, основанным на обработке отдельных узких вертикальных полосок изображения.

Весьма радикальный метод решения проблемы построения оптимальных и, вместе с тем, рекуррентных алгоритмов в пространстве двух измерений был предложен в работе [3]. На основе метода инвариантного погружения в дискретном пространстве-времени были синтезированы отличные по структуре от уравнений состояния, но рекуррентные алгоритмы, включающие интерполяцию текущих оценок во всех точках области  по результатам очередных наблюдений.