1.2. Случайные величины

         Будем рассматривать множество всех случайных исходов, возможных при данном испытании. Предположим, что каждому исходу  этого испытания соответствует число . Тогда множество исходов отображается в некоторое числовое множество. Такое отображение, т.е. числовая функция , построенная на множестве исходов эксперимента, называется случайной величиной (СВ). Примерами СВ могут быть число единиц в последовательности  двоичных символов, значение напряжения на выходе приемника в фиксированный момент времени и т.д.

         Если число  возможных исходов  конечно или cчетно, то CB  называется дискретной. Дискретная СВ может быть описана с помощью задания всех вероятностей , с которыми СВ принимает значения , т.е. . Сумма этих вероятностей равна единице. Вместо набора  вероятностей свойства СВ могут быть заданы с помощью функции распределения

                                      .                                       (1.12)

Как следует из определения, . Кроме того,  является неубывающей функцией. Для дискретных СВ эта функция имеет ступенчатый вид, причем каждая «ступенька» величиной  расположена в точке с абсциссой .

         Другим важным классом является СВ, для которых функция распределения  непрерывна. Если  дифференцируема, то ее производная

                                                                              (1.13)

называется плотностью распределения вероятностей (ПРВ) непрерывной случайной величины.  Поскольку, то ПРВ можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной величины на отрезок  к длине  этого отрезка при  . Очевидно, , т.е. вероятность попадания СВ на отрезок  численно равно площади под графиком ПРВ. В отличие от дискретных непрерывные СB принимают несчетное множество значений. Вероятность того, что непрерывная СВ примет любое конкретное значение, например , равна нулю.

         Важнейшими числовыми характеристиками СВ являются математическое ожидание

                                 ,                                 (1.14)

дисперсия

                                              (1.15)

и среднее квадратическое отклонение . Обобщением числовых характеристик являются начальные моменты распределения СВ

                                                                (1.16)

и центральные моменты

                      .                      (1.17)

         Напомним, что , а числа   и  называются коэффициентами асимметрии и эксцесса. Ряд часто встречающихся в статистической радиотехнике распределений и соответствующих числовых характеристик СВ приведены в табл. 1.1.