2.3. Метод моментов

         При неизвестных параметрах  начальные моменты распределения являются функциями :

.

Вместе с тем, на основе наблюдений  могут быть найдены выборочные начальные моменты -го порядка

,

которые служат состоятельными оценками моментов распределения .

         Метод моментов заключается в приравнивании  выборочных моментов к соответствующим моментам распределения и нахождении оценок неизвестных параметров из системы уравнений:

.

Кроме начальных моментов, для оценок параметров могут использоваться центральные моменты распределения и выборочные центральные моменты:

.

         Для некоторых распределений, например, нормального или экспоненциального, оценки параметров, найденные с помощью метода моментов, совпадают с соответствующими ОМП. Вместе с тем имеются многочисленные задачи, в которых метод моментов приводит к худшим по точности оценкам, чем метод максимального правдоподобия. Характерным примером является оценка параметра  равномерного распределения . Для нахождения этой оценки на основе метода моментов приравняем математическое ожидание (первый начальный момент)  и выборочное среднее . В результате получаем несмещенную оценку  с дисперсией . Заметим, что найденное значение в  раз больше дисперсии (2.27) оценки максимального правдоподобия. Приведенный результат подчеркивает целесообразность поиска эффективных оценок с помощью метода максимального правдоподобия. Однако встречаются примеры, где решение уравнений правдоподобия найти не удается, но можно получить хорошие оценки по методу моментов. Рассмотрим два таких примера.

         Пусть требуется оценить параметры  и  гамма-распределения (табл. 1.1). Приравнивая моменты распределения  и  к первому  и второму  выборочным моментам, получаем следующие оценки параметров по методу моментов:

.

         Проанализируем теперь возможности решения более сложной задачи оценки двух параметров  и  распределения Вейбулла (табл. 1.1). Как следует из табл.1.1, после приравнивания моментов распределения   и   к выборочным  и  получается система двух уравнений относительно неизвестных оценок параметров  и , аналитическое решение которой не представляется возможным.

         Попытаемся подобрать функциональное преобразование выборочных значений , приводящее к упрощению поставленной задачи оценивания. Заметим, что двухпараметрический класс вейбулловских СВ  может быть получен с помощью нелинейного преобразования  СВ  с экспоненциальным законом распределения: . Такое преобразование упрощается, если рассматривать прологарифмированные данные эксперимента, т.е. ввести СВ  и соответствующие наблюдения  . Но самое главное, что моменты распределения  оказываются довольно простыми функциями неизвестных параметров  и. Действительно,

;

.

Используя таблицы интегралов [25], запишем:

,

,

где  – постоянная Эйлера [25]. С учетом приведенных табличных интегралов получаем следующие выражения для моментов распределения логарифмов наблюдений: .

         Оценки    теперь могут быть легко найдены из системы двух уравнений , где   и  – выборочные моменты. После элементарных преобразований решение системы уравнений для оценок параметров распределения Вейбулла запишется в виде:

.

         Полученные оценки могут использоваться, например, при построении классификатора типа помех в радиолокационном приемнике, поскольку распределение Вейбулла описывает широкий класс возможных помех в виде собственного шума приемника, отражений от местных предметов, гидрометеоров и др.