3.5. Обнаружение сигналов при неизвестных параметрах помех

         При синтезе алгоритмов обнаружения сигналов на базе отношения правдоподобия предполагалось, что условные ПРВ  и  точно известны. Это означает, что до начала наблюдений известен не только вид (закон распределения) помехи, но и все параметры этой помехи – дисперсия, математическое ожидание и др. Однако зачастую такие данные до опыта (априори) либо отсутствуют, либо нет уверенности в их достаточной достоверности. В связи с этим в настоящее время интенсивно развивается направление теории статистического синтеза, содержанием которого является разработка методов преодоления априорной неопределенности [32,33].

         В задачах обнаружения сигналов на фоне помех с неизвестными параметрами  (при параметрической априорной неопределенности) предполагается, что условные ПРВ  и  наблюдений  зависят от неизвестного параметра. Если этот параметр фиксирован и наблюдения  в вероятностном смысле полностью определены, то задача проверки простых гипотез  и  решается с помощью уже рассмотренных методов. Однако на практике значительно чаще приходится иметь дело с семействами распределений  и ,  для которых векторный параметр    принадлежит некоторой -мерной области . Для развития методов проверки описанных сложных гипотез принципиальным является вопрос о природе параметра: является ли он неизвестной константой или случайной величиной. Иначе говоря, существует ли ПРВ  на  или такой ПРВ нет? В зависимости от ответа на этот вопрос, используются различные подходы к решению поставленной задачи. Остановимся кратко на характеристике методов решения задач обнаружения при использовании этих подходов.

         Байесовская теория проверки статистических гипотез и оценки параметров основана на представлении о случайных параметрах , имеющих ПРВ . Если бы распределение  было точно известно, то задача проверки гипотез формально могла быть решена уже рассмотренными методами. Действительно, в этом случае после интегрирования известной совместной ПРВ  можно получить необходимые формулы:

.                 (3.31)

Составляя затем на основе (3.31) отношение правдоподобия (3.8), получаем структуру оптимального алгоритма обнаружения сигнала.

         Однако в большинстве представляющих практический интерес задач ПРВ  неизвестна, и именно в отсутствии сведений относительно вида  и заключается априорная неопределенность при байесовской постановке задач. Вместе с тем для построения оптимального алгоритма обнаружения необходимо каким-либо способом определить ПРВ . В качестве одного из возможных приемов предлагается использование вместо неизвестной ПРВ  равномерного распределения. Основой для такого выбора является теорема С.Н. Бернштейна и Р.Мизеса [15], устанавливающая слабую зависимость конечного результата синтеза правила обработки наблюдений от вида априорного распределения при условии, что действительная ПРВ является непрерывной функцией. Это обусловлено тем, что априорные сведения относительно  обычно незначительны по сравнению с тем, что узнаем из опыта после построения апостериорного распределения параметра . При этом одним из доводов задания именно равномерного распределения является следующее свойство инвариантности этой ПРВ [34].

         Если информация относительно  неопределенна, то неопределенна также информация относительно линейного преобразования , где  и  – заданные  величины . Поэтому, если уместно представление априорных сведений о параметре  с помощью равномерной плотности на всей вещественной прямой, то столь же уместно считать, что и априорным сведениям относительно  отвечает равномерное распределение. И действительно, из результатов о преобразованиях СВ следует, что если  имеет равномерную плотность, то этим свойством обладает и .

Рис.3.4. Основные  и обучающие ()  отсчеты

Поэтому равномерная ПРВ удовлетворяет желаемому свойству инвариантности.

         Рассмотрим пример синтеза байесовского правила обнаружения при неизвестной интенсивности помехи. При этом предположим, что на каждой ( -й) из  исследуемых позиций, кроме отсчета  в области возможного появления сигнала, производится  независимых отсчетов ,  в области, где присутствует только помеха (рис.3.4).

         При отсутствии полезного сигнала все наблюдения подчиняются одному и тому же релеевскому закону:

,

где неизвестен параметр , определяющий интенсивность помехи. Тогда совместная условная ПРВ всех наблюдений определяется как произведение:

,       (3.32)

где   .

         При появлении полезного сигнала изменяется только ПРВ основных отсчетов

,

а ПРВ вспомогательных наблюдений  сохраняет свой вид. Таким образом, совместная ПРВ при условии, что справедлива гипотеза , запишется следующим образом:

.                          (3.33)

Поскольку сведения относительно параметра  до проведения эксперимента обычно неопределенны, положим  при всех возможных значениях . Тогда, подставляя  и ПРВ (3.33) в формулу (3.31), получим после замены переменной  следующее выражение:

или, с учетом табличного интеграла [25],

,

где . 

         Так как формулы (3.32) и (3.33) отличаются лишь величиной параметра , то отношение правдоподобия запишется в виде:

,

где . Алгоритм обнаружения сигналов состоит в сравнении отношения правдоподобия  с пороговым уровнем . Поскольку  монотонно зависит от , то эквивалентной, но более простой процедурой является сравнение с порогом статистики

       (3.34)

Переписывая это соотношение в форме

и сравнивая полученный алгоритм с правилом обнаружения (3.11), можно сделать вывод, что в синтезированном правиле (3.34) производится оценка  интенсивности помехи и подстройка порога обнаружения в зависимости от этой оценки. При этом для обнаружения используется различие (контраст) между основной  и обучающей  выборками.

         Для анализа помехоустойчивости найденного алгоритма применяются уже рассмотренные методы. В частности, точные распределения  и  могут быть получены с помощью характеристических функций. Вместе с тем дополнительные трудности появляются из-за необходимости нахождения закона распределения частного  двух СВ. Используя формулу (1.36), можно показать [35], что вероятность правильного обнаружения определяется следующим выражением:

.                                       (3.35)

Вероятность ложной тревоги  рассчитывается на основе (3.55), при . Анализ полученного выражения позволяет сделать вывод, что вероятность ложной тревоги  не зависит от уровня помех , а  зависит лишь от величины отношения сигнал/шум, т.е. найденный алгоритм обладает очень важным на практике свойством инвариантности к масштабу входного процесса.

         Развивая рассмотренный байесовский подход на случай многомерного параметра , может быть решена задача обнаружения сигнала при различных значениях интенсивности помех , на каждой сигнальной позиции. В этом случае все  параметров  рассматриваются как независимые СВ с равномерными распределениями:. Пример синтеза такого обнаружителя с помощью байесовского подхода, анализ его эффективности и вопросы технической реализации полученных алгоритмов с помощью элементов цифровой техники рассмотрены в работе [36].

         Другой подход к задаче синтеза обнаружителей сигналов при параметрической априорной неопределенности связан с представлением наблюдений с помощью ПРВ  и , содержащих неизвестные, но не случайные параметры . Одним из приемов решения таких задач является совместное применение рассмотренного во втором разделе метода максимального правдоподобия и основных идей обнаружения сигналов. Действительно, воспользуемся методом максимального правдоподобия для оценки параметра  при условии, что справедливы гипотезы   или , т.е. найдем оценки   и  параметра  из условий максимумов ПРВ  и  соответственно. После этого подставим эти оценки в указанные ПРВ и составим модифицированное отношение правдоподобия

.                                                (3.36)

Сравнение  с порогом  и определяет процедуру обнаружения сигналов при неизвестных параметрах  помех по методу модифицированного отношения правдоподобия. Поскольку оценки  или  при известных условиях сходятся к истинному значению параметра  по мере увеличения объема выборки , то можно предположить, что предложенный подход приводит к хорошим результатам, по крайней мере, для большого числа наблюдений.

         Рассмотрим применение такого подхода к задаче обнаружения (3.32), (3.33) релеевского сигнала при неизвестной интенсивности  релеевской помехи. Для этого найдем максимум (3.32) по параметру . После дифференцирования логарифма (3.32) по  из условия экстремума получаем следующее выражение для оценки параметра:

.          (3.37)

Очевидно, условие экстремума (3.33) запишется в виде:

.             (3.38)

Подставим найденные условные оценки параметра  в формулы (3.32), (3.33) и сформируем модифицированное отношение правдоподобия (3.36). После несложных преобразований получим

.

Замечая, что  является монотонной функцией , будем вместо сравнения с порогом  отношения правдоподобия  использовать сравнение с уровнем  статистики  , т.е. процедуру обнаружения (3.34). Таким образом, метод модифицированного отношения правдоподобия при решении рассмотренной задачи приводит к тем же результатам, что и  байесовский подход. Это обстоятельство позволяет предположить, что процедура (3.34) может быть взята за основу при решении практических задач обнаружения сигналов на фоне помехи с неизвестной интенсивностью.

         Поскольку метод модифицированного отношения правдоподобия был введен без применения каких-либо принципов оптимальности, возникает естественный вопрос о возможности введения таких критериев и построении на их основе строго оптимальных алгоритмов обнаружения сигналов. Остановимся здесь лишь на особенностях и принципах формулировки критериев оптимальности при параметрической априорной неопределенности. Суть основной проблемы построения критерия оптимальности заключается в неоднозначности сравнения процедур обнаружения сигналов при различных значениях параметра . Так, один алгоритм обнаружения может быть лучше, чем другой, скажем, при , а при  этот же алгоритм может обладать большими потерями. Как в этих условиях выбрать из двух обнаружителей лучший?       

         Рассмотрим эту проблему при байесовском критерии качества. Допустим, что в качестве критерия оптимальности выбраны средние потери (3.4) при обнаружении сигналов. При наличии неизвестного параметра  средние потери , вообще говоря, будут зависеть от величины этого параметра, т.е.  (рис.3.5). Предположим теперь, что существует другое правило обнаружения, средние потери которого, в зависимости от параметра , определяются другой функцией: (рис.3.5).

Рис. 3.5. Зависимости средних потерь от неизвестного параметра

Как видно из рисунка, при  предпочтение следует отдать первому алгоритму. Если же , то потери  второго алгоритма меньше и его выбор будет предпочтительнее. Какой же выбор сделать, если параметр  неизвестен? Можно потребовать, чтобы оптимальное правило обладало равномерно наименьшими потерями (рис.3.5, пунктир), т.е. чтобы при каждом значении параметра  выполнялось условие , где  – средние потери для любого алгоритма обнаружения.    Но это означает, в частности, что потери оптимального при априорной неопределенности правила обнаружения сигналов должны совпадать с потерями алгоритма, рассчитанного на функционирование при известном значении . К сожалению, такие процедуры существуют лишь для чрезвычайно узкого класса задач [37]. В большинстве же помеховых ситуаций для поиска оптимального алгоритма с равномерно наилучшими характеристиками необходимо ограничивать класс возможных процедур, среди которых отыскивается решение [32,37,38]. Однако анализ возможных ограничений на классы правил проверки сложных гипотез и поиск строго оптимальных алгоритмов обнаружения при неизвестных параметрах помех [32,37,38] выходит за рамки данного пособия.