1.3. Нестационарный пуассоновский поток

Если поток событий нестационарный, то его основной характеристикой является мгновенная плотность . Мгновенной плотностью потока называется предел отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный участок времени , к длине этого участка, когда последний стремится к нулю:

,

где  - математическое ожидание числа событий на участке .

Рассмотрим поток однородных событий, одинарный и без последействия, но не стационарный, с переменной плотностью . Такой поток называется нестационарным пуассоновским потоком. Это первая ступень обобщения по сравнению с простейшим потоком.

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины , начинающийся в точке , подчиняется закону Пуассона:

,

где  - математическое ожидание числа событий на участке от  до , равное

.

Анализ данного выражения показывает, что величина  зависит не только от длины участка , но и от его положения на оси .

Найдем для этого потока закон распределения промежутка времени  между соседними событиями. Допустим, что в момент времени  появилось событие (точка на числовой оси ). Тогда закон распределения времени   между этим событием и следующим будет иметь вид

,

где  - вероятность того, что на участке времени от  до  не появится ни одного события:

, ,

откуда

, .

Дифференцируя данное выражение, найдем ПРВ

, .

Полученный закон распределения уже не будет показательным. Вид его зависит от параметра  и вида функции . Например, при линейном изменении , ПРВ будет иметь вид

, .

Несмотря на то, что структура нестационарного пуассоновского потока несколько сложнее простейшего, он остается удобным для практических применений: главное свойство простейшего потока – отсутствие последействия – в нем сохранено. Это значит, что для произвольной фиксированной точки  закон распределения  времени  не будет зависеть от того, что происходило на участке времени .