1.2. Простейший поток вызовов

Пусть на вход системы распределения информации поступает однородный поток событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек с интервалами  на числовой оси (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Случайный поток событий

Для случайного потока событий можно выделить следующие свойства:

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной  зависит только от длины этого участка и не зависит от его расположения на оси .

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых не перекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий попадающих на другой.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок  двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток вызовов обладает всеми тремя свойствами, то он называется простейшим или стационарным пуассоновским потоком.

Рассмотрим на оси  простейший поток  как неограниченную последовательность случайных точек. Выделим произвольный участок времени длиной . При выполнении условий 1-3 число точек, попадающих на участок , распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием

,

где  - плотность потока (среднее число вызовов, приходящихся на единицу времени). Соответственно вероятность того, что за время  произойдет ровно  событий, равна

.

В частности, вероятность того, что участок окажется пустым (не придет ни одного вызова), будет

.

Наряду с распределением Пуассона  при решении практических задач используют вероятности поступления не менее  вызовов за время

,

и вероятность поступления не более  вызовов за промежуток

.

Распределение вероятностей  показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Зависимости вероятности  от промежутка времени

Рассмотрим простой пример применения приведенных формул. Допустим, требуется рассчитать вероятность поступления пяти, не менее пяти и не более пяти вызовов за промежуток , если параметр простейшего потока  вызовов/ч. Определяем, что  и по формулам находим , . На основе полученных результатов вычисляем вероятность поступления не менее пяти заявок: .

Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями. Рассмотрим СВ  - время между двумя произвольными соседними заявками в простейшем потоке и найдем ее функцию распределения

.

Перейдем к вероятности противоположного события

.                                                      (1.1)

Но  это вероятность отсутствия вызовов за время . Следовательно

.

Подставляя данное выражение в (1.1), получаем функцию распределения

, .

Дифференцируя функцию распределения, получим ПРВ:

, .

График полученной ПРВ представлен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. ПРВ Пуассона

Математическое ожидание величины

,

а дисперсия

, .

Показательный закон распределения времени  между двумя соседними заявками имеет одно важное свойство. Оно состоит в следующем: если промежуток времени уже длился некоторое время , то это никак не повлияет на закон распределения оставшейся части промежутка. То есть предыдущая информация о том, когда и сколько вызовов поступало за время , не влияет на закон распределения поступающих вызовов в «будущем». Таким образом, поток заявок с показательным законом распределения времени  является потоком без последействия.

Простейший поток обладает следующими свойствами:

1. При объединении нескольких простейших потоков с интенсивностями  образуется простейший поток с интенсивностью .

2. Сумма большого числа независимых стационарных потоков с практически любым последействием при малых значениях интенсивностей этих потоков дает простейший поток.