3.3. Система с ожиданием при простейшем потоке вызовов
Система распределения информации называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какая-либо линия связи.
Если время ожидания ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-либо условиями, то система называется «системой смешанного типа».
Заявки, стоящие в очереди, могут быть обслужены тремя способами: первым пришел – первым обслужен (упорядоченное обслуживание), обслуживание в случайном порядке и обслуживание по заданным приоритетам.
Рассмотрим «чистую систему с ожиданием» с упорядоченным типом обслуживания заявок в очереди и простейшим входным потоком вызовов. Будем также полагать, что величина нагрузки входного потока меньше числа каналов связи . В этом случае средняя длина очереди заявок . При этом «чистая система с ожиданием» будет иметь бесконечное, но счетное число состояний:
- ни один канал связи не занят,
- занят ровно один канал связи,
…
- занято ровно каналов связи,
…
- заняты все каналов связи,
- заняты все каналов связи и одна заявка находится в очереди,
…
- заняты все каналов связи и заявок находится в очереди,
…
Число заявок , стоящих в очереди, может быть сколько угодно большим. При этом очевидно, что первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от ранее рассмотренных уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с ожиданием может перейти не только из , но и из состояния .
Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент времени и найдем - вероятность того, что система в момент времени будет в состоянии . Это может произойти в трех случаях:
- в момент времени система находилась в состоянии и за промежуток времени не пришел ни один вызов и ни один канал связи не освободился;
- в момент времени система находилась в состоянии и за промежуток времени пришел один вызов;
- в момент времени система находилась в состоянии и за промежуток времени освободился один канал связи.
Учитывая, что интенсивность входного потока заявок , а выходного с показательным временем обслуживания, вероятность

и после перехода к пределу при , получаем
.
Вычислим вероятности того, что в момент времени в очереди находится ровно заявок. Очевидно, что система может перейти в это состояние при выполнении одного из трех событий:
- в момент времени система находилась в состоянии и за время не пришла ни одна заявка и ни один канал не освободился;
- в момент времени система находилась в состоянии и за время пришла одна заявка;
- в момент времени система находилась в состоянии и за время освободился один канал.
В результате получим следующие вероятности данных событий:

Так как события , и несовместны, то вероятность

и переходя к пределу при , получаем
.
В результате получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

Полученные дифференциальные уравнения являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы с ожиданием. При интегрировании полученной системы уравнений нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.
Система дифференциальных уравнений Эрланга переходит в систему линейных уравнений при установившемся режиме работы, т.е. при . В этом случае вероятности стремятся к своим предельным значениям , а производные равны нулю:

Для решения полученной системы уравнений необходимо добавить условие
. (3.7)
Очевидно, что вероятности будут определяться полученным ранее выражением (3.3). При путем последовательных подстановок получим
.
Учитывая условие (3.7), выразим вероятность через и :
,
т.к. величина меньше единицы, то ряд образует геометрическую прогрессию и искомое выражение равно
.
Учитывая, что величина соответствует входной нагрузке, получаем формулу для расчета вероятностей :
при , (3.8)
при . (3.9)
Выражения (3.8) и (3.9) представляют собой распределение Эрланга для систем с ожиданием. Математическое описание таких систем определяется не только вероятностями , но и вероятностью того, что время ожидания окажется больше заданной величины . Данная вероятность будет зависеть от одновременного совершения двух событий: - существование очереди и - время ожидания в очереди больше величины :
(3.10)
Очевидно, что вероятность складывается из вероятностей , , ,…, ,…, т.е. вероятностей занятости всех каналов связи и вероятностей нахождения в очереди одной и более заявок:
.
Подставляя вместо величин выражение (3.9), получим
.
Данное выражение получило название второй формулы Эрланга. Вычислим вероятность второго события . Допустим, что в очереди стоит одна заявка. Она будет находиться там до тех пор, пока один из каналов связи не освободится. Вероятность того, что канал связи в течение времени будет обрабатывать запрос, определяется величиной . Учитывая, что общее число каналов связи равно и все они должны быть заняты в промежуток времени , искомая вероятность нахождения одной заявки в очереди равна . Однако, в общем случае, очередь может состоять из произвольного числа вызовов. Очевидно, что, например, для второй заявки в очереди, вероятность изменится пропорционально уменьшению числа каналов связи на единицу. Действительно, в случае освобождения одного из каналов связи на его вход тут же поступает заявка, стоящая первой в очереди, а вторая встает на место первой. Следовательно, вероятность того, что вторая заявка простоит в очереди время , равна . В общем случае сложно определить на каком месте в очереди будет стоять та или иная заявка, но, зная величину нагрузки входного потока , можно определить среднюю длину очереди как . Тогда вероятность нахождения заявки в очереди время запишется в виде
.
После подстановки выражений для и в формулу (3.10), получим
.
Величина позволяет определить качество работы системы распределения информации с ожиданием. Так, при система имеет повышенное качество, а при - пониженное.
|