3.3. Система с ожиданием при простейшем потоке вызовов
Система распределения информации
называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми,
становится в очередь и ждет, пока не освободится какая-либо линия связи.
Если время ожидания ничем не
ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно
ограничено какими-либо условиями, то система называется «системой смешанного
типа».
Заявки, стоящие в очереди, могут быть
обслужены тремя способами: первым пришел – первым обслужен (упорядоченное
обслуживание), обслуживание в случайном порядке и обслуживание по заданным
приоритетам.
Рассмотрим «чистую систему с
ожиданием» с упорядоченным типом обслуживания заявок в очереди и простейшим
входным потоком вызовов. Будем также полагать, что величина нагрузки входного
потока меньше
числа каналов связи .
В этом случае средняя длина очереди заявок . При этом «чистая система с ожиданием» будет иметь
бесконечное, но счетное число состояний:
- ни один канал связи не занят,
- занят ровно один канал связи,
…
- занято ровно каналов связи,
…
- заняты все каналов связи,
- заняты все каналов связи и одна заявка находится в
очереди,
…
- заняты все каналов связи и заявок находится в очереди,
…
Число заявок , стоящих в очереди, может быть
сколько угодно большим. При этом очевидно, что первые дифференциальных уравнений ничем
не будут отличаться от ранее рассмотренных уравнений Эрланга:
Отличие новых уравнений Эрланга
начнется при .
Действительно, в состояние система с ожиданием может перейти не
только из , но
и из состояния .
Составим дифференциальное уравнение
для .
Зафиксируем момент времени и найдем - вероятность того, что система в момент
времени будет
в состоянии .
Это может произойти в трех случаях:
- в момент времени система находилась в
состоянии и
за промежуток времени не
пришел ни один вызов и ни один канал связи не освободился;
- в момент времени система находилась в
состоянии и
за промежуток времени пришел
один вызов;
- в момент времени система находилась в
состоянии и
за промежуток времени освободился
один канал связи.
Учитывая, что интенсивность входного
потока заявок ,
а выходного с
показательным временем обслуживания, вероятность
и после перехода к пределу при , получаем
.
Вычислим вероятности того, что в момент
времени в
очереди находится ровно заявок. Очевидно, что система может
перейти в это состояние при выполнении одного из трех событий:
- в момент времени система находилась в
состоянии и
за время не
пришла ни одна заявка и ни один канал не освободился;
- в момент времени система находилась в
состоянии и
за время пришла
одна заявка;
- в момент времени система находилась в
состоянии и
за время освободился
один канал.
В результате получим следующие
вероятности данных событий:
Так как события , и несовместны, то вероятность
и переходя к пределу при , получаем
.
В результате получаем следующую систему дифференциальных
уравнений:
Полученные дифференциальные уравнения
являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы с
ожиданием. При интегрировании полученной системы уравнений нужно учитывать, что
хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике
вероятности при
возрастании становятся
пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.
Система дифференциальных уравнений
Эрланга переходит в систему линейных уравнений при установившемся режиме
работы, т.е. при .
В этом случае вероятности стремятся к своим предельным значениям , а производные равны
нулю:
Для решения полученной системы
уравнений необходимо добавить условие
. (3.7)
Очевидно, что вероятности будут определяться
полученным ранее выражением (3.3). При путем последовательных подстановок получим
.
Учитывая условие (3.7), выразим вероятность через и :
,
т.к. величина меньше единицы, то ряд образует геометрическую
прогрессию и искомое выражение равно
.
Учитывая, что величина соответствует входной
нагрузке, получаем формулу для расчета вероятностей :
при , (3.8)
при . (3.9)
Выражения (3.8) и (3.9) представляют
собой распределение Эрланга для систем с ожиданием. Математическое описание
таких систем определяется не только вероятностями , но и вероятностью того, что время ожидания окажется больше
заданной величины .
Данная вероятность будет зависеть от одновременного совершения двух событий: - существование очереди
и - время
ожидания в очереди больше величины :
(3.10)
Очевидно, что вероятность складывается из
вероятностей ,
, ,…, ,…, т.е. вероятностей занятости
всех каналов связи и вероятностей нахождения в очереди одной и более заявок:
.
Подставляя вместо величин выражение (3.9),
получим
.
Данное выражение получило название
второй формулы Эрланга. Вычислим вероятность второго события . Допустим, что в
очереди стоит одна заявка. Она будет находиться там до тех пор, пока один из каналов связи не
освободится. Вероятность того, что канал связи в течение времени будет обрабатывать
запрос, определяется величиной . Учитывая, что общее число каналов связи
равно и все
они должны быть заняты в промежуток времени , искомая вероятность нахождения одной
заявки в очереди равна . Однако, в общем случае, очередь может
состоять из произвольного числа вызовов. Очевидно, что, например, для второй
заявки в очереди, вероятность изменится пропорционально уменьшению числа
каналов связи на единицу. Действительно, в случае освобождения одного из каналов связи на его
вход тут же поступает заявка, стоящая первой в очереди, а вторая встает на
место первой. Следовательно, вероятность того, что вторая заявка простоит в
очереди время ,
равна . В
общем случае сложно определить на каком месте в очереди будет стоять та или
иная заявка, но, зная величину нагрузки входного потока , можно определить среднюю длину
очереди как .
Тогда вероятность нахождения заявки в очереди время запишется в виде
.
После подстановки выражений для и в формулу (3.10), получим
.
Величина позволяет определить качество
работы системы распределения информации с ожиданием. Так, при система имеет
повышенное качество, а при - пониженное.
|