3.5. Система смешанного типа при простейшем потоке вызовов

Рассмотрим систему распределения информации с ограничением по длине очереди, т.е. числу заявок, стоящих в очереди. Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее  заявок. Если же число заявок в очереди равно , то прибывшая заявка в очередь не ставится и покидает систему необслуженной.

Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояния системы, при условии, что входной поток заявок является простейшим с параметром , а время обслуживания подчиняется показательному закону распределения с параметром . Очевидно, первые  уравнений для вероятностей  будут совпадать с уравнениями Эрланга. Определим остальные уравнения:

,

откуда

.

Далее выведем уравнения для :

,

переходя к пределу при , получаем

.

Последнее уравнение будет

.

Таким образом, получена система  дифференциальных уравнений:

Рассмотрим предельный случай при . Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему алгебраических уравнений:

с добавочным условием:

.

Решая систему линейных уравнений, получаем следующие выражения для вероятностей:

, при ,

, при .

На основе полученных выражений можно определить вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной:

.