4.2. Комбинаторный метод Якобеуса для анализа коммутационных схем

Комбинаторный метод анализа Якобеуса показывает довольно точные оценки вероятности потерь при малом числе звеньев. Покажем применение данного метода на примере двухзвенной коммутационной схемы с полнодоступным включением промежуточных линий (рис. 4.4).

Пусть на один из входов коммутатора первого звена двухзвенной схемы поступает заявка. Необходимо определить вероятность того, что она окажется необслуженной, т.е. вычислить потери. Анализ схемы рис. 4.4 показывает, что потери могут возникнуть в трех случаях:

1. Если заняты все  выходов коммутатора первого звена, на который поступил вызов.

2. Если заняты все выходы коммутационной схемы.

3. Если свободные промежуточные линии не могут обеспечить соединение с выходами соответствующих коммутаторов второго звена из-за их занятости.

Таким образом, отказ в обслуживании возникает при одновременном появлении двух событий:

 - заняты  выходов из  коммутатора, на вход которого поступил вызов;

 - свободные  промежуточные линии не могут обеспечить соединение со свободным выходом второго звена.

Метод Якобеуса предполагает, что события  и  независимы и потери при занятых  выходах можно вычислить по формуле:

.

Так как в общем случае число занятых выходов, при поступлении вызова, может быть любым в пределах от  до , то общие потери в двухзвенной коммутационной схеме определяются как

.                     (4.1)

Вычислим вероятности  и  для примитивного потока заявок, поступающий на вход системы при равном числе входов и выходов коммутаторов первого звена и числе источников информации . Согласно формуле Энгеста, вероятность нахождения ровно  заявок в системе равна

,                                          (4.2)

где  - нагрузка входного потока от одного источника. Если ввести переменную

,

то формула (4.2) примет вид

,                                      (4.3)

где параметр  имеет смысл вероятности занятости промежуточной линии между соответствующим выходом коммутатора перового звена и соответствующим входом коммутатора второго звена. Причем величина  в то же время является средней интенсивностью нагрузки, обслуживаемой одной промежуточной линией.

Учитывая, что число свободных промежуточных линий равно , каждая из которых подключена к отдельному коммутатору второго звена, то вероятность  можно определить как

  ,                                              (4.4)

где  - средняя интенсивность обслуженной нагрузки всеми выходами коммутатора второго звена. Подставляя полученные выражения в формулу (4.1), получим выражение для общих потерь:

.

Рассмотрим другой случай работы двухзвенной схемы, когда число источников информации  велико и входной поток заявок является простейшим. Время обслуживания одной заявки будем считать распределенным по показательному закону с параметром . Тогда вероятность занятости ровно  выходов коммутатора первого звена можно вычислить по формуле Эрланга

,

где  - величина нагрузки потока заявок на соответствующем выходе коммутатора первого звена.

Как правило, в системах с большим числом абонентов число коммутаторов первого велико и поток заявок в промежуточных линиях считается простейшим. При этом вероятность  полагают равной средней интенсивности нагрузки , обслуженной соответствующей промежуточной линией. Так как свободных промежуточных линий , то вероятность их занятости

,                                      (4.5)

и величина потерь определяется по формуле

.

Рассмотрим работу двухзвенных схем, когда число входов  больше числа выходов  в коммутаторах первого звена. В таких системах возникают дополнительные потери при поступлении на вход коммутатора более  вызовов.

Допустим, что число абонентов  равно числу входов  и входной поток заявок является примитивным. Вероятность поступления , , …,  вызовов можно вычислить по аналогии с формулой (4.3), заменяя интенсивность потока  интенсивностью потока обслуженных заявок  одним входом коммутатора первого звена, т.к. в данном случае требуется оценить потери, возникающие из-за занятости всех  выходов. Таким образом, потери  можно записать в виде

.                               (4.6)

Вероятности  и  определяются по формулам (4.3) и (4.4), т.к. остальные условия работы системы идентичны ранее рассмотренному случаю. В результате общие потери равны

.

При числе абонентов  значительно больше числа входов двухзвенной системы и времени обслуживания, распределенным по показательному закону, вероятности  и  можно найти с помощью формулы Эрланга:

; ,

а вероятность  определяется по формуле (4.5). Тогда общие потери определяются как

.

Представленные формулы расчета потерь справедливы и для двухзвенных схем, в которых выходы коммутатора первого звена соединены с входами коммутаторов второго звена не одной, а несколькими промежуточными линиями. В этом случае достаточно вместо значений ,  и  подставить значения ,  и , где  - число промежуточных линий, связывающие один выход коммутатора первого звена со входом коммутатора второго звена.