4.4. Вычисление потерь методом вероятностных графов

Рассмотренные выше методы вычисления потерь удается применить для схем с небольшим числом звеньев. Действительно, если схема имеет, например, десять или более звеньев, то не всегда можно уверенно сказать какие типы потоков обслуживаются теми или иными промежуточными линиями. В таких случаях целесообразно применять другой способ вычисления потерь, который называется метод вероятностных графов.

Идея метода заключается в представлении коммутационной системы в виде графа, в котором вершины соответствуют коммутаторам, а ребра – промежуточным линиям. Вероятность занятости одной промежуточной линии полагают равной средней интенсивности заявок, прошедших через эту линию.

Рассмотрим правила построения графов на примере трехзвенной схемы, представленной на рис. 4.6. Будем считать, что число входов  равно числу выходов  коммутатора первого звена и величина  равна числу коммутаторов второго звена. Причем каждый из  выходов подключен к отдельному коммутатору второго звена. Те же условия накладываем на связи между коммутаторами второго и третьего звеньев.

Допустим, что на вход  такой схемы приходит заявка. Она может поступить на один из  коммутаторов второго звена с помощью промежуточной линии, которая обозначена ребром  (рис. 4.7). В случае линейного искания (т.е. соединение входа с заданным выходом) соответствующий выход -го коммутатора второго звена должен быть соединен с определенным коммутатором  третьего звена с помощью промежуточной линии . И наконец, вход, на который поступил вызов, должен быть соединен с заданным выходом , что соответствует звену . Таким образом, получаем следующий граф трехзвенной схемы для режима линейного искания (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Граф трехзвенной схемы для режима линейного искания

Через  и  обозначены вероятности занятости занятости соответствующих ребер. Заметим, что вероятности ,  и  соответствуют свободным состояниям промежуточных линий. Используя данные обозначения, вероятность того, что два звена  и  будут свободными равна , а вероятность занятости этих звеньев . Так как в графе число таких звеньев равно , то вероятность возможности соединения между узлами  и  можно выразить с помощью формулы

.

Соединение между узлами  и  возможно при одновременном возникновении двух событий: доступен узел  и свободна промежуточная линия :

и общие потери определяются как

.

Так как вероятности  и  равны средним интенсивностям потока заявок ,  и , то потери можно выразить непосредственно через эти величины:

.

Построим другой граф данной трехзвенной схемы при тех же условиях, наложенные на связи между звеньями системы, что и в предыдущем случае. Изменим только режим линейного икания, при котором вход соединяется с одним из свободных выходов. Очевидно, что ребра  будут иметь то же расположение что и ранее, а ребра между выходом -го коммутатора второго звена и входом -го коммутатора третьего звена будут иметь другую конфигурацию. Действительно, вызов с выхода коммутатора второго звена, в случае группового искания, может перейти на вход любого коммутатора третьего звена. Таким образом, получаем множество вершин графа , которые соединены с вершинами  (рис. 4.8). Кроме того, каждый из входов коммутатора третьего звена может быть соединен с любым из  выходов. В результате получаем следующую схему графа трехзвенной системы для режима группового искания (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Граф трехзвенной схемы для режима группового искания

Через  и  также обозначены вероятности занятости соответствующих ребер, а дуги показывают возможность соединения входа с любым из  выходов коммутатора третьего звена. Вычислим потери между узлами  и  при фиксированном узле . Соединение между вершиной  и вершиной  невозможно, если хотя бы одно ребро  или  окажется занятым. Учитывая, что вероятности занятия данных ребер  и , описывающие совместные события, получаем выражения для потерь между точками  и :

, .

Соответственно, вероятность занятости одновременно  узлов  при фиксированной вершине  равна

.

Так как число коммутаторов второго звена равно , то общие потери между вершиной  и  вершинами  при разных , определяются по формуле

.

Потери для всей системы возникают в случае, когда свободные  входы не могут обеспечить связь с одним из  выходов соответствующих коммутаторов третьего звена. Вероятность занятости всех выходов одного коммутатора равна , тогда вероятность занятости ОП  коммутаторов составляет величину . Используя формулу Бернулли, можно записать вероятность занятости  выходов коммутаторов второго звена:

и общие потери выражаются формулой

Если вместо вероятностей  и  подставить величины ,  и , то потери можно записать в виде

.

Аналогично вычисляются потери и для схем с большим числом звеньев, при этом не требуется знания о типах потока заявок поступающего на вход системы, а также внутри нее. Это позволяет значительно упростить анализ схем и расчета вероятностей потерь.