6.2. Самоподобные (фрактальные) случайные последовательности

Представленный пример фрактала (кривая Коха) относится к классу детерминированных фракталов, т.е. когда объект непосредственно составляется из своих малых копий. В теории телетрафика для описания поведения величины нагрузки в сетях связи с пакетной коммутацией применяется класс случайных (стохастических) фракталов. В этом случае свойство самоподобности (масштабной инвариантности) наблюдается лишь «в среднем», т.е. подобными являются не сами отсчеты сигнала, а, например, его корреляционная функция, или ПРВ на разных временных масштабах.

Конкретизируем данные понятия. Для этого рассмотрим случайный процесс как дискретную последовательность случайных величин:

,

где  - СВ с заданным законом распределения. Будем предполагать, что все рассматриваемые случайные процессы имеют ограниченную ковариацию  и следовательно дисперсию . Случайный процесс будет обладать свойством самоподобности, если агрегированный процесс -го проядка

будет иметь корреляционную функцию  совпадающую с корреляционной функцией исходного случайного процесса  для любых . При выполнении данного условия можно утверждать, что дисперсия агрегированного процесса  убывает согласно выражению

,

т.е. вариация агрегированных процессов – средних выборок – уменьшается медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. В результате в самоподобных процессах имеет место явления долгосрочной зависимости, которое приводит к расходимости корреляционных функций процесса:

.

Наконец энергетический спектр самоподобных процессов описывается выражением

.

Важнейшим параметром, характеризующим «степень» самоподобности  случайного процесса, является параметр Хёрста (Hurst). Если для случайного процесса определить его среднее как

,

выборочную дисперсию положить равной

и определить изменчивость случайного процесса по формуле

,

то для большинства самоподобных процессов будет выполняться условие

или

,

где  - параметр Херста. Величина , причем для процессов не обладающих самоподобностью , а для самоподобных процессов данный параметр обычно изменяется в пределах от 0,7 до 0,9. Параметр , который был введен ранее для характеристики асимптотических свойств самоподобного процесса, связан с параметром Херста соотношением

.

На практике параметр Херста можно определить путем построения графика отношения  в зависимости от  при разных  и вычислить величину  как тангенс угла наклона полученной линии. Следует заметить, что полученное множество точек не будет строго линейным, поэтому их следует аппроксимировать линией, например, по методу наименьших квадратов. Данная методика определения параметра Херста получила название R/S-метод.

Впервые на самоподобие процессов, описывающих трафик в пакетных сетях, обратили внимание в начале 90-х годов прошлого века. В частности на основе результатов экспериментов анализа трафика в пакетной сети было установлено, что распределение числа пакетов в единицу времени очень хорошо описывается самоподобным случайным процессом с параметром Херста около 0,65-0,8.

R/S-метод дает лишь приближенное значение показателя Херста, поэтому для его вычисления целесообразно пользоваться несколькими методиками и сравнения полученных результатов. Рассмотрим метод определения величины  на основе периодограммного анализа.

Для самоподобного случайного процесса  вычисляется периодограмма по формуле

, ,

где  - длина временного ряда. Учитывая, что самоподобность влияет на характер спектра  при , должен получаться график зависимости спектральной плотности вида

, при .

Из последнего выражения следует, что множество случайных точек  будут располагаться линейно с коэффициентом наклона линии . На практике для вычисления оценки должны использоваться только нижние 10% частот, т.к. описанное выше поведение справедливо только для области частот, близких к нулю. Основным недостатком данного метода является большой объем вычислений при построении оценки показателя Херста.