6.2. Самоподобные (фрактальные) случайные последовательностиПредставленный пример фрактала (кривая Коха) относится к классу детерминированных фракталов, т.е. когда объект непосредственно составляется из своих малых копий. В теории телетрафика для описания поведения величины нагрузки в сетях связи с пакетной коммутацией применяется класс случайных (стохастических) фракталов. В этом случае свойство самоподобности (масштабной инвариантности) наблюдается лишь «в среднем», т.е. подобными являются не сами отсчеты сигнала, а, например, его корреляционная функция, или ПРВ на разных временных масштабах. Конкретизируем данные понятия. Для этого рассмотрим случайный процесс как дискретную последовательность случайных величин:
где будет иметь корреляционную функцию
т.е. вариация агрегированных процессов – средних выборок – уменьшается медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. В результате в самоподобных процессах имеет место явления долгосрочной зависимости, которое приводит к расходимости корреляционных функций процесса:
Наконец энергетический спектр самоподобных процессов описывается выражением
Важнейшим параметром, характеризующим «степень» самоподобности случайного процесса, является параметр Хёрста (Hurst). Если для случайного процесса определить его среднее как
выборочную дисперсию положить равной и определить изменчивость случайного процесса по формуле
то для большинства самоподобных процессов будет выполняться условие или
где
На практике параметр Херста можно определить путем построения графика отношения Впервые на самоподобие процессов, описывающих трафик в пакетных сетях, обратили внимание в начале 90-х годов прошлого века. В частности на основе результатов экспериментов анализа трафика в пакетной сети было установлено, что распределение числа пакетов в единицу времени очень хорошо описывается самоподобным случайным процессом с параметром Херста около 0,65-0,8. R/S-метод дает лишь приближенное значение показателя Херста, поэтому для его вычисления целесообразно пользоваться несколькими методиками и сравнения полученных результатов. Рассмотрим метод определения величины Для самоподобного случайного процесса
где
Из последнего выражения следует, что множество случайных точек
|