6.3. Виды самоподобных случайных последовательностей
Простым примером самоподобных случайных последовательностей может служить случайное движение точки, начиная с некоторого момента времени , когда она находилась в нуле. В каждые последующие моменты времени ее координата меняется на произвольную случайную добавку . Тогда модель движения можно описать как
,
т.е. текущая координата определяется на основе предыдущей плюс случайное смещение. Если СВ подчиняется нормальному закону распределения

с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , то формируемый процесс будет представлять собой броуновское движение частицы (стохастический винеровский процесс).
Рассмотрим координату частицы в момент времени . Величина будет состоять из случайных добавок в предшествующие моменты времени, т.е.
.
Следовательно, математическое ожидание координаты частицы
,
а дисперсия
.
Таким образом, при математическое ожидание СВ равно нулю, а дисперсия стремится к бесконечности. Кроме того, для любых двух моментов времени и , дисперсия разности .
Так как процесс представляет собой суммы гауссовских случайных величин и известную дисперсию для каждого момента времени , то можно записать ПРВ данной величины в виде
,
где - координата или приращение координаты броуновской частицы (т.к. данный процесс в момент времени равен нулю); - интервал времени наблюдения.
Для того чтобы процесс обладал свойством самоподобности, т.е. являлся фракталом, достаточно значение дисперсии заменить на , где - параметр Херста. Такая замена приводит к тому, что отсчеты стохастического броуновского движения становятся коррелированными между собой, т.е. . Следовательно, можно записать, что

.
Корреляция приращений и может быть определена как

В дискретном случае, когда величины и заменяются на и соответственно, получаем следующую корреляционную функцию для приращений фрактального броуновского движения
.
Последовательность случайных приращений с данной корреляционной функцией называется фрактальным гауссовским шумом. Причем коэффициент корреляции , при и определяет долговременную зависимость между отсчетами случайного процесса. Корреляционная функция отличается от гауссовских и экспоненциальных тем, что предполагает спад в корреляции при увеличении заметно более медленный, что согласуется с результатами наблюдений интенсивностей в реальных трафиках с пакетной коммутацией. Кроме того, она полностью описывается только двумя параметрами – дисперсией и показателем .
Рассмотрим алгоритм моделирования фрактального броуновского движения (ФБД) на основе RMD-метода.
Шаг 1. Формируются два отсчета и , причем (по условию), а - нормально распределенная случайная величина с нулевым МО и дисперсией (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Один шаг генерации ФБД
Шаг 2. На интервале от 0 до 1 берется центральный отсчет , который определяется как
,
где - гауссовская СВ с нулевым МО и дисперсией выбранной так, чтобы дисперсия сформированного отсчета была равна
.
Дисперсия линейной аппроксимации равна , тогда можно записать
.
Шаг 3. Рассматриваются поочередно два интервала (0;1/2) и (1/2;1), в которых выделяются центральные отсчеты и . Значения этих отсчетов формируются аналогично величине :
; ,
где и - гауссовские СВ с нулевым МО и дисперсией выбранной так, чтобы дисперсии сформированных отсчетов и удовлетворяли условию
.
Для отсчета дисперсия линейной аппроксимации равна , тогда можно записать
.
Аналогичное значение дисперсии сохраняется и для величины .
Шаг 4… . На данных шагах повторяются действия, описанные на 2 и третьем шагах. Причем для значений дисперсий случайных добавок имеем следующую формулу
, 
|