3.1. Оптимальные стационарные системы. Фильтр ВинераПостановка задачи синтеза оптимальной системы управления
Решение задачи оптимизации параметров очень важно, но оно вызывает чувство неудовлетворенности, связанное с полностью заданной структурой исследуемой системы. Действительно, введем в систему какой-нибудь дополнительный элемент, например интегратор или апериодическое звено. Как при этом изменится суммарная ошибка? Если она окажется меньше, то, может быть, следует ввести еще какие-нибудь звенья? При этом, естественно, возникает вопрос о поиске наилучшей структуры системы управления среди всех возможных систем. Для решения задачи синтеза оптимальной системы управления перенесем помеху на её вход и представим систему в виде рис. 32, где W(jw) – произвольная передаточная функция замкнутой системы управления. Ей соответствует импульсная переходная характеристика h(t). Рис. 32 Будем теперь описывать возможные входные сигналы g(t) с помощью реализаций стационарного случайного процесса с заданным математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией Rg(t). В такой постановке показателем качества может быть средний квадрат ошибки системы управления При заданных характеристиках входного сигнала Rg(t) и помех Rn(t) будем искать систему управления, в которой достигается минимум среднего квадрата ошибки. Речь идет о том, чтобы минимизировать
Решение задачи синтеза оптимальной системы управления
Известно, что реакция любой линейной системы на входное воздействие z(t)=g(t)+n(t) может быть записана с помощью интеграла свертки:
Подставим х(t) в формулу для среднего квадрата ошибки: Каждое из трех слагаемых можно легко выразить через интегралы от корреляционных функций. Например,
Поскольку
то
Для нахождения вида импульсной переходной характеристики h0(t), минимизирующей После дифференцирования это условие можно записать в следующей форме:
Учитывая произвольный характер
Это уравнение впервые было найдено Н. Винером. Аналогичное соотношение для дискретного времени на несколько лет раньше Н. Винера получил советский математик А.Н. Колмогоров. Интегральное уравнение Винера для стационарных процессов легко решается с помощью преобразования Фурье. Действительно, после преобразования Фурье левой и правой части находим:
Таким образом, передаточная функция оптимальной системы полностью определяется энергетическим спектром Пример. Пусть возможные траектории описываются стационарным случайным процессом с корреляционной функцией Тогда оптимальная система управления должна иметь передаточную функцию следующего вида:
где Импульсная переходная характеристика находится с помощью обратного преобразования Фурье:
Таким образом, по заданным характеристикам входных воздействий и помех получаем передаточную функцию и импульсную характеристику оптимальной системы управления, т.е. системы управления, для которой достигается минимум среднего квадрата ошибки. Рассмотренный подход имеет ряд недостатков. Во-первых, полученное решение физически нереализуемо. Действительно, представим импульсную переходную характеристику оптимальной системы управления в виде графика (рис. 33) . Рис. 33 Эта характеристика по определению является реакцией системы на
* * *
Несмотря на недостатки рассмотренного метода синтеза оптимальных систем, следует заметить, что Н. Винер впервые поставил и решил важнейшую задачу о поиске структуры оптимальной системы управления, т.е. задачу синтеза оптимальной системы. Имея в своем распоряжении структуру оптимальной системы, разработчик реальных систем управления может опираться на основные рекомендации теории, может осуществлять сравнение конкретных систем с оптимальной по заданному показателю качества – среднему квадрату суммарной ошибки.
|