11.1.2. Оценивание взаимных ковариационных и корреляционных функций
Предположим, что после взятия
-х разностей от первоначальных входного и выходного временных рядов имеется
пар значений
, доступных для анализа. Тогда, как показано, например, в [27], выборочная оценка
коэффициента взаимной ковариации для задержки
дается выражением
(11.1.4)
где
,
— средние значения рядов
и
. Аналогично выборочная оценка
коэффициента взаимной корреляции
при задержке
может быть получена подстановкой в (11.1.3) вместо
,
и
их выборочных оценок
и
, что приводит к выражению
,
, (11.1.5)
Пример. На практике для получения полезных оценок взаимной корреляционной функции нужно не менее 50 пар наблюдений. Однако, чтобы проиллюстрировать формулы (11.1.4) и (11.1.5), мы вычислим оценку взаимной корреляционной функции при задержках +1 и -1 для следующих рядов из 5 пар наблюдений:

|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|

|
11
|
7
|
8
|
12
|
14
|

|
7
|
10
|
6
|
7
|
10
|
Для этих рядов
и отклонения от среднего равны

|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|

|
0,6
|
-3,4
|
-2,4
|
1,6
|
3,6
|

|
-1,0
|
2,0
|
-2,0
|
-1,0
|
2,0
|
Отсюда

и
.
Используя
, получаем
.
Аналогично
. Отсюда
и
.
На рис. 11.4 показана выборочная взаимная корреляционная функция
дискретных входных и выходных данных для газовой печи, полученных считыванием с непрерывных данных (на рис. 11.1) с шагом в 9 с. Ответим, что взаимная корреляционная функция не симметрична относительно нуля и имеет четко выраженный пик на
, указывающий, что выход задержан относительно входа. Значения взаимных корреляций отрицательны. Этого следовало ожидать (см. рис. 11.1), так как увеличение скорости подачи газа уменьшает выходную концентрацию.

Рис. 11.4. Взаимная корреляционная функция входа и выхода для данных газовой печи, считываемых через 9-секундные интервалы.