11.3. ПОДГОНКА И ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
11.3.1. Условная сумма квадратов
Рассмотрим теперь задачу одновременного эффективного оценивания параметров
и
пробно идентифицированной модели
, (11.3.1)
где
— стационарные процессы, и
. (11.3.2)
Предполагается, что для анализа доступны
пар значений и что
и
(
и
если
) означают отклонения от их математических ожиданий. Эти ожидания могут оцениваться вместе с другими параметрами, но при обычно имеющемся числе наблюдений достаточно вместо них брать выборочные средние значения. Когда
, то часто математические ожидания процессов
и
равны нулю.
Если доступны начальные значения
, предшествующие началу ряда, то, по имеющимся данным, для любого набора параметров
и начальных значений
мы можем вычислить последовательно значения
для
. В предположении о нормальном распределении для
хорошее приближение к оценкам максимального правдоподобия для параметров можно получить, минимизируя условную сумму квадратов
. (11.3.3)
Трехэтапная процедура для вычисления
. Если даны соответствующие начальные значения, генерировать ряд
для любого конкретного набора значений параметров можно при помощи следующей трехэтапной процедуры.
Прежде всего выход
модели передаточной функции можно получить из уравнения
,
т. е. из

или из
, (11.3.4)
Когда ряд
вычислен, то, пользуясь (11.3 1), можно найти значения шума
по формуле
, (11.3.5)
Наконец,
можно найти из (11.3.2), если представить эту формулу в виде
,
т. е.
. (11.3.6)
Начальные значения. Как отмечалось в разд 7.1 3 в связи с оцениванием стохастических моделей, эффект переходных явлений можно минимизировать, если разностные уравнения применяются со значения
, для которого все предшествующие
и
известны Таким образом,
в (11.3.4) вычисляется начиная с
и далее вперед, здесь
больше
и
. Это означает, что
будет известно начиная с
и далее вперед; отсюда, если неизвестные
приравнять их безусловному математическому ожиданию, т. е. нулю, можно вычислить
начиная с
. Тогда условная сумма квадратов равна
. (11.3.7)
Пример с газовой печью. Для этих данных идентифицирована модель (11.2.20), а именно
,
Уравнения (11.3.4), (11.3.5) и (11.3.6) принимают вид
, (11.3.8)
, (11.3.9)
. (11.3.10)
Тогда можно использовать (11.3.8) для генерирования
с
вперед и (11.3.10) для генерирования
с
вперед. Вызванная этим небольшая потеря информации несущественна для достаточно протяженных рядов. Например, для данных о газовой печи
, и потеря 7 значений в начале ряда практически несущественна. Для иллюстрации в табл. 11.3 показано вычисление первых нескольких значений
для кодированных данных о газовой печи при значениях параметров
,
,
,
,
,
,
.
Значения
и
в колонках 2 и 4 получены вычитанием средних значений
и
из значений ряда, приведенных в сводке временных рядов в конце этой книги.
Ранее мы предполагали
. Чтобы оценить его, можно вычислить значения
и
, минимизирующие условную сумму квадратов, для каждого значения
в диапазоне его вероятных значений и найти истинный минимум по отношению к
и
.
Таблица 11.3. Расчет нескольких первых значений
по данным газовой печи для значений параметров 

|

|

|

|

|

|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
-0,052
0,057
0,235
0,396
0,430
0,498
0,518
0,405
0,184
-0,123
|
-
-
-
-
-
0,024
0,071
0,116
0,151
0,171
|
0,29
0,09
-0,01
-0,01
-0,11
-0,41
-0,81
-1,11
-1,31
-1,51
|
-
-
-
-
-
-0,434
-0,881
-1,226
-1,461
-1,681
|
-
-
-
-
-
-
-
-1,094
-1,250
-1,412
|