12.4.3. Пример
Во втором примере регулирования с обратной связью в разд. 12.2.3 цель заключалась в поддержании вязкости полимера как можно ближе к номинальному значению 92 путем ежечасного измерения вязкости и корректировки скорости подачи газа. Предыдущее обсуждение касалось разработки пробной схемы регулирования, основанной на ненадежной информации. При этом существенным был предполагаемый вид моделей шума и передаточной функции
, (12.4.8)
(12.4.9)
с , , .

Рис. 12.12. Опытная схема регулирования вязкости. Часть записи характеристик процесса и восстановленное возмущение. а – изменение подачи газа (регулирующее действие), б – результирующее отклонение вязкости от номинала, в – расчетное отклонение вязкости от номинала, которое могло бы возникнуть при отсутствии регулирующих действий.
Эти модели привели к уравнению регулирования для определения необходимой корректировки в момент . Часть фактической записи процесса при использовании этой пробной схемы показана на рис. 12.12. Изменения скорости подачи газа и соответствующие отклонения от номинала образуют новые данные, по которым можно получить новые оценки. Мы будем действовать в предположении, что форма модели адекватна, но что оценки параметров , и могут быть ошибочными. В этом случае уравнения (12.4.4), (12.4.6) и (12.4.7) принимают вид
, (12.4.10)
где ,
,
. (12.4.11)
В качестве примера в табл. 12.2 приведен набор из 8 пар значений и . Они являются начальными значениями рядов из 312 наблюдений, полученных в течение 13 дней эксплуатации обычной схемы; все наблюдения приведены под заголовком «Ряд , данные опытной схемы» в сводке рядов и данных в конце книги.
Таблица 12.2. Восемь пар значений ряда для опытной схемы

|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|

|
30
|
0
|
-10
|
0
|
-40
|
0
|
-10
|
10
|

|
-4
|
-2
|
0
|
0
|
4
|
2
|
2
|
0
|
В табл. 12.3 показано начало рекуррентного расчета для значений параметров , , . При этих значениях уравнения (12.4.11) и (12.4.10) приобретают вид
, (12.4.12)
. (12.4.13)
Данные приведены в первых трех столбцах табл. 12.3. Величины в четвертом столбце получены при помощи (12.4.13) и представляют собой изменения выхода, вызываемые изменениями . Пятый и шестой столбцы получены очевидными арифметическими действиями, а седьмой столбец – согласно (12.4.12). В этой таблице вместо неизвестных начальных значений были использованы и . Последовательные строки таблицы показывают, как выбор этих величин влияет на последующие вычисления.
Таблица позволяет выяснить ряд вопросов.
Таблица 12.3. Рекуррентный расчет по данным опытной схемы дли значений параметров , , 

|

|

|

|

|

|

|
1
|
30
|
-4
|

|
|
|

|
2
|
0
|
-2
|

|
2
|

|

|
3
|
-10
|
0
|

|
2
|

|

|
4
|
0
|
0
|

|
0
|

|

|
5
|
-40
|
4
|

|
4
|

|

|
6
|
0
|
2
|

|
-2
|

|

|
7
|
-10
|
2
|

|
0
|

|

|
8
|
10
|
0
|

|
-2
|

|

|
1) Мы замечаем, что выбор и влияет только на первые несколько значений . Этот факт справедлив и в более общем случае, если не считать диапазона значений параметров, в котором весовые функции для модели шума или передаточной функции очень медленно затухают. Для принятого здесь подхода маловероятно, чтобы истинные значения параметров оказались в этом критическом диапазоне.
2) Можно воспользоваться крайне неточными значениями и , и если, как в этом примере, данные доступны, отбросить несколько первых значений , позволяя затухнуть переходным явлениям, вызванным неудачным выбором и .
3) Можно вычислить и использовать в дальнейших расчетах по методу наименьших квадратов значения , полученные с начальными значениями и , минимизирующими условную сумму квадратов при фиксированном выборе «главных параметров». Возможны и некоторые дальнейшие уточнения такого типа, как описаны в разд. 7.1; мы не будем их здесь обсуждать.
Последний пункт мы проиллюстрируем анализом данных в табл. 12.3, по которым особенно легко провести вычисления. Значения и , минимизирующие для конкретных значений параметров ; ; , находятся «регрессией» столбца (а) на столбцы (b) и (с) табл. 12.4.
Таблица 12.4. Расчет оценок максимального правдоподобия для начальных значений

|

|

|
0,00
|
-1,00
|
0,00
|
-1,00
|
-0,20
|
0,60
|
0,00
|
-0,04
|
0,48
|
-0,08
|
-0,01
|
0,31
|
3,93
|
0,00
|
0,19
|
2,76
|
0,00
|
0,12
|
2,93
|
0,00
|
0,07
|
1,02
|
0,00
|
0,04
|
Все элементы этой таблицы получены из крайнего правого столбца табл. 12.3. Элементы столбца (а) – это члены, не зависящие от и элементы столбцов (b) и (с) – это коэффициенты при и соответственно. Поскольку эти коэффициенты быстро спадают до нуля, для вычисления и важны только первые члены рядов. Фактически для рассматриваемого случая нам достаточно ограничиться первыми восемью членами. Нормальные уравнения имеют вид
,

и приводят к решениям для начальных значений , .
Характер рельефа поверхности суммы квадратов для этого примера можно представить, рассмотрев рис. 12.13. Изолинии получены интерполяцией расчетных значении на сетке. В каждом случае начальные значения найдены описанным выше способом. Заштрихованы соответствующие приближенные трехмерные 95%-ные доверительные области.

Рис. 12 13. Рельеф суммы квадратов и приближенная 95%-ная доверительная область для по данным опытной схемы регулирования ( приведено в логарифмическом масштабе).
В качестве дополнительной проверки был проведен расчет при помощи программы нелинейного метода наименьших квадратов; в качестве начальных значений использовались грубые оценки, применявшиеся в пробной схеме регулирования. Ход итераций показан в табл. 12.5.
Таблица 12.5. Сходимость оценок параметров при одновременной подгонке моделей передаточной функции и шума
Итерация
|

|

|

|
Сумма квадратов
|
0
|
0,01
|
0,10
|
0,50
|
6247,6
|
1
|
-0,06
|
0,09
|
0,53
|
5661,3
|
2
|
-0,11
|
0,08
|
0,61
|
5275,9
|
3
|
-0,02
|
0,06
|
0,71
|
5115,9
|
4
|
0,08
|
0,05
|
0,77
|
5067,6
|
5
|
0,10
|
0,05
|
0,77
|
5065,2
|
6
|
0,11
|
0,05
|
0,77
|
5065,1
|
7
|
0,11
|
0,05
|
0,77
|
5065,1
|
Выборочная автокорреляционная функция остаточных ошибок показана в табл. 12.6 на следующей странице вместе с выборочной взаимной корреляционной функцией и Сравнение с верхними границами стандартной ошибки не обнаруживает неадекватности модели.
Из этого примера видно, что оценки , , использованные в опытной схеме, почти правильны, но значение динамического параметра слишком мало; следует использовать значение . После изменения оценок параметров оптимальная схема регулирования имеет вид
,
ее следует сравнить с опытной схемой
.
Таблица 12.6. Выборочные автокорреляции и взаимные корреляции и 
Автокорреляция
|
Верхняя граница стандартных ошибок
|
Задержки
|
1-10
|
0,01
|
-0,06
|
-0,06
|
0,05
|
-0,02
|
0,06
|
-0,04
|
-0,04
|
0,11
|
0,03
|
±0,06
|
11-20
|
0,03
|
-0,04
|
0,00
|
0,03
|
0,08
|
-0,10
|
0,05
|
0,07
|
0,03
|
-0,04
|
±0,06
|
21-30
|
-0,07
|
-0,02
|
-0,05
|
0,09
|
0,00
|
0,01
|
0,03
|
0,00
|
-0,02
|
0,00
|
±0,06
|
Взаимные корреляции
|
Задержки
|
1-10
|
-0,01
|
-0,05
|
0,09
|
-0,02
|
0,05
|
-0,08
|
0,03
|
0,03
|
-0,08
|
0,01
|
±0,06
|
11-20
|
0,00
|
0,08
|
-0,02
|
-0,02
|
-0,06
|
0,07
|
-0,13
|
-0,03
|
0,01
|
-0,01
|
±0,06
|
21-30
|
0,06
|
0,04
|
0,06
|
-0,08
|
-0,02
|
-0,04
|
0,01
|
-0,01
|
0,04
|
-0,03
|
±0,06
|
|