10.2.3. Дискретные модели передаточных функций первого и второго порядков

Модели передаточных функций первого и второго порядков для всех комбинаций  и  подробно описаны в табл. 10.1. Примеры некоторых моделей с дискретными диаграммами откликов на единичные скачок и импульс приведены на рис. 10.6.

Уравнения в конце табл. 10.1 выражают параметры  разностной -формы модели через параметры  представления модели через оператор . Эти уравнения соответствуют самой общей модели с . Все остальные модели — это частные случаи общей модели, и соответствующие им уравнения можно получить приравниванием нулю соответствующих коэффициентов. Например, если   и , , то

 , , .

На рис. 10.6 начальные значения для дифференциальных уравнений, соответствующие откликам на единичные импульс и скачок, показаны кружками.

Обсуждение моделей, приведенных в таблице. Модели, свойства которых рассмотрены в табл. 10.1 и на рис. 10.6, заслуживают очень внимательного изучения, так как они полезны для описания многих часто встречающихся на практике динамических систем. Во всех этих моделях оператор  в правой части показывает, что первый ненулевой член в функции отклика на единичный импульс равен . В примерах, приведенных на рис. 10.6, g предполагается равным единице, a .

Модели с . Когда  и  равны нулю, функция отклика на единичный импульс содержит только один член . Выход пропорционален входу, но смещен на  временных интервалов. В более общем случае, если оператор справа имеет порядок , выходной отклик будет задержан на  временных интервалов относительно импульсного входа и будет занимать   значение с амплитудами . Отклик на скачок получается суммированием весов отклика на единичный импульс и удовлетворяет уравнению  с начальными значениями .

003
013
023
103
113
123
203
213
223

Рис. 10.6. Примеры функций отклика на единичный импульс и скачок при усилении .

Таблица 10.1. Функции отклика на единичный импульс  для моделей передаточных функций вида

	Представление	Представление	Функция
			0                                j<b                             j=b 0                                j>b     0                                j<b                             j=b -                       j=b+1 0                           j>b+1   0                                j<b                             j=b -                       j=b+1 -                       j=b+2 0                           j>b+2   0                                j<b                             j=b                        j>b   0                                j<b                             j=b              j=b+1                   j>b+1   0                                j<b                             j=b              j=b+1 j=b+2                   j>b+2   0                                j<b                             j=b         j>b     0                                j<b                             j=b              j=b+1     j>b+1   0                                j<b                             j=b              j=b+1       j=b+2     j>b+2
;  ;  ; ; ;		;   ; ; ; ;

Модели с . При  отклик на единичный импульс экспоненциально затухает от начального значения . Отклик на единичный скачок экспоненциально затухает, пока не достигнет значения . Если экспоненциальную функцию отклика на скачок проэкстраполировать назад (как показано точками), она пересечет ось времен в момент . Это соответствует тому факту, что и , и  являются начальными значениями соответствующего разностного уравнения .

При  существует начальное значение отклика на единичный импульс , которое не соответствует общему ходу. Экспоненциальная кривая, определяемая разностным уравнением , соответствующим оператору в левой части, начинается со значения .

Отклик на скачок ведет себя как экспонента, удовлетворяющая разностному уравнению ; его начальные значения  и ; с ростом  отклик асимптотически приближается к . Экстраполяция этой экспоненциальной кривой назад показана точечной линией. В общем случае она пересекает ось времен в некоторой промежуточной точке между отсчетами. В разд. 10.3 будет показано, что некоторые дискретные модели, аппроксимирующие непрерывные системы первого порядка с дробным временем запаздывания, могут быть описаны разностным уравнением первого порядка с оператором в правой части, у которого .

При  имеются два значения  и  отклика на единичный импульс, не следующие общему ходу: за ними с  начинается экспоненциальный спад. Соответственно у отклика на единичный скачок имеется единственное значение , не согласующееся с общим экспоненциальным поведением, выраженным проэкстраполированной назад точечной линией. Эта кривая, как и ранее, определена разностным уравнением , но с начальными значениями  и .

Модели с . Гибкость моделей с  весьма ограниченна, потому что первое начальное значение функции отклика на единичный импульс должно равняться нулю. Более полезными являются модели с  и . Использование этих моделей для аппроксимации непрерывных систем второго порядка обсуждается в разд. 10.3 и приложении П10.1.

Поведение динамических весовых значений  которые при достаточно больших  удовлетворяют уравнению

                          (10.2.13)

зависит от природы корней  и  характеристического уравнения

.

Эта зависимость показана в табл. 10.2. Как и в непрерывном случае, модель может быть перезатушена, критически затушена или недозатушена в зависимости от природы корней характеристического уравнения.

Таблица 10.2. Зависимость свойств системы второго порядка от корней уравнения

Корни ,	Условия	Затухание
Действительные Действительные и равные Комплексные		Перезатушенная Критически затушенная Недозатушенная

Когда корни уравнения комплексные, решение (10.2.13) будет затухающей синусоидой, как в примерах систем второго порядка на рис. 10.6. Когда корни уравнения действительны, решение будет суммой двух экспонент. Как и в непрерывном случае, рассмотренном в разд. 10.1.2, можно трактовать эту систему как эквивалентную двум последовательно соединенным системам первого порядка с параметрами  и .

Веса  функции отклика на единичный скачок при достаточно больших  подчиняются разностному уравнению

,

имеющему ту же форму, что и (10.2.13). Следовательно, характер изменения функции отклика на скачок  относительно его асимптотического значения  такой же, как и у отклика на единичный импульс относительно оси времен. В случаях, когда у характеристического уравнения существуют комплексные корни, функция отклика на скачок достигает значений, больших , а затем осциллирует относительно этого значения, пока не достигнет равновесия. Когда корни уравнения действительны и положительны, функция отклика на скачок, являющаяся суммой двух экспоненциальных членов, приближается к своей асимптоте , не пересекая ее. Однако, если у уравнения существуют отрицательные действительные корни, отклик на скачок может превзойти значение , а затем постепенно прийти к состоянию равновесия.

На рис. 10.5 точками показаны две дискретные функции отклика на скачок, обозначенные  и , соответствующие дискретному единичному скачку на входе, показанному точками в нижней части рисунка. Модели разностных уравнений, соответствующие  и , это

 ,

 .

На рис. 10.5 показана также диаграмма области устойчивости с точками , соответствующими значениям параметров каждой из моделей. Заметим, что функция отклика на скачок для модели  с действительными положительными корнями характеристического уравнения не переходит через уровень равновесия, а та же функция для модели  с комплексными корнями переходит через этот уровень.