13.2.1. Вывод выражения для оптимальной корректировки
Пусть оптимальная корректировка, выраженная через , будет равна
, (13.2.4)
где
.
Тогда, обращаясь к рис. 13.3, мы видим, что ошибка выхода определяется выражением
. (13.2.5)
Коэффициент при в этом выражении равен единице, так что можно записать
, (13.2.6)
где
.
Далее, практически регулирование нужно выразить через наблюдаемые ошибки выхода , а не через , так чтобы регулирующее действие имело вид
. (13.2.7)
Приравнивая (13.2.5) и (13.2.6), получаем
. (13.2.8)
Так как , и – константы, можно стандартным образом найти безусловный минимум выражения
; (13.2.9)
здесь и т. п. Точно так же, пользуясь производящими функциями, мы будем искать (безусловный) минимум коэффициента при в выражении
,
или, в несколько ином виде, в
(13.2.10)
где . Этот минимум мы можем найти, дифференцируя по каждому , выбирая коэффициенты при в результирующем выражении, приравнивая их нулю и решая получившиеся уравнения. Имеем
(13.2.11)
Найдя коэффициенты при для и приравнивая их нулю, получаем уравнения
(13.2.12)
(13.2.13)
. (13.2.14)
Случай пренебрежимо малого . Рассмотрим сначала простейший случай, когда пренебрежимо мало и может считаться нулем. Тогда приведенные выше уравнения принимают вид
, (13.2.15)
. (13.2.16)
Эти разностные уравнения имеют решения вида
,
где и – корни характеристического уравнения
, (13.2.17)
т. е.
.
Очевидно, если – корень этого уравнения, то и – тоже корень. Поэтому решение имеет вид . Если по модулю меньше или равно 1, то по модулю больше или равно 1, и так как должно иметь конечную дисперсию, должно быть равно нулю, а . Подставляя решение в (13.2.15), находим, что .
Наконец, так как и и должны быть действительными числами, корень уравнения тоже действителен. Отсюда
, , (13.2.18)
, (13.2.19)
где . Тогда
,
так что
. (13.2.20)
Из (13.2.8) при получаем
. (13.2.21)
Отсюда

и
. (13.2.22)
Из (13.2.7), (13.2.19) и (13.2.21) находим, что оптимальное регулирующее действие, выраженное через наблюденные ошибки на выходе , равно
,
т. е.
. (13.2.23)
Отметим, что уравнение регулирования с ограничением отличается от уравнения без ограничения в двух отношениях.
1. Вводится новый множитель , в результате чего текущее действие частично зависит от предыдущего.
2. Постоянная, определяющая долю интегрального регулирования, уменьшается в раз.
Мы предполагали, что допускается увеличение дисперсии выхода до значения . Из (13.2.20) следует, что
,
т. е.
,
где берется положительное значение корня. Удобно ввести обозначение . Тогда и , а дисперсия выхода имеет вид .
Допустим, что мы согласны на увеличение дисперсии выхода до значения . Тогда
1) вычисляем
,
2) оптимальное регулирование достигается при помощи действия
,
3) дисперсия входа может быть уменьшена до
,
т. е. уменьшится до от дисперсии схемы без ограничения, где
.
В табл. 13.2 приведены значения и для , заключенного между 0,1 и 1,0.
Таблица 13.2. Значения параметров для простой схемы регулирования с ограничением

|
0,10
|
0,20
|
0,30
|
0,40
|
0,50
|
0,60
|
0,70
|
0,80
|
0,90
|
1,00
|

|
0,302
|
0,408
|
0,480
|
0,535
|
0,577
|
0,612
|
0,641
|
0,667
|
0,688
|
0,707
|

|
53,7
|
42,0
|
35,1
|
30,3
|
26,8
|
24,0
|
21,9
|
20,0
|
18,5
|
17,2
|
Пусть, например, . Тогда оптимальная схема без ограничений будет требовать регулирующего действия

с . Дисперсия равна . Пусть потребовалось понизить ее в 4 раза, т. е. до значения . Из табл. 13.2 вытекает, что уменьшение дисперсии входа до 24% от его значения при отсутствии ограничений возможно при и . Если мы используем схему с этими значениями, дисперсия выхода будет равна
.
Итак, применив регулирующее действие

вместо
,
мы уменьшаем дисперсию входа до четверти ее предыдущего значения, а дисперсия выхода увеличивается на 10%.
Случай, когда нельзя пренебречь . Рассмотрим теперь более общий случай, когда непренебрежимо мало и необходимо учитывать динамику системы. Разностное уравнение (13.2.14) имеет вид
,
и если – корень характеристического уравнения, то и – корень того же уравнения. Пусть корни уравнения равны , причем и по модулю меньше единицы. Тогда в решении

и должны быть равны нулю, так как дисперсия конечна.
Итак, решение имеет вид
, , .
Пользуясь начальными условиями (13.2.12) и (13.2.13), находим коэффициенты :
, .
Если обозначить , , то
(13.2.24)
и
. (13.2.25)
Подставляя (13.2.24) в (13.2.8), получаем
(13.2.26)
и
.
Тогда из (13.2.7) вытекает, что оптимальное регулирующее действие, выраженное через ошибку , имеет вид
(13.2.27)
или
. (13.2.28)
Итак, в модифицированной схеме регулирования зависит как от , так и от (только от , если ); эта схема уменьшает стандартное интегральное и пропорциональное действие в раз.
Дисперсии на выходе и входе. Легко найти фактические дисперсии на выходе и входе. Имеем
.
Второй член в правой части – смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего порядка , дисперсия которого без труда определяется как
. (13.2.29)
Далее,
. (13.2.30)
Вычисление и . Для разностного уравнения (13.2.14) характеристическое уравнение имеет вид
,
где и . Его можно также представить в виде
,
где
и .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим
, т. е. ,
.
Отсюда , т. е.
,
.
При подходящих значениях это квадратное уравнение имеет два действительных корня:
, 
. Искомая величина – это меньший из корней квадратного уравнения
,
а определяется из
.
Таблица оптимальных значений для схем с ограничением; способ построения. Для облегчения выбора оптимальной схемы регулирования можно пользоваться табл. 13.3. Табулированные значения для каждого заданного – параметра модели передаточной функции – получены следующим путем.
Таблица 13.3. Таблица, облегчающая расчет оптимальных схем регулирования с ограничением

|

|
|
20
|
40
|
60
|
80
|
10
|
0,9
|

|
21,7
|
11,3
|
6,7
|
4,5
|
3,1
|

|
0,44
|
0,585
|
0,68
|
0,74
|
0,78
|

|
0,18
|
0,27
|
0,34
|
0,39
|
0,44
|
0,8
|

|
22,0
|
11,7
|
7,2
|
4,8
|
3,4
|

|
0,44
|
0,585
|
0,68
|
0,74
|
0,78
|

|
0,18
|
0,27
|
0,33
|
0,38
|
0,43
|
0,7
|

|
22,7
|
12,4
|
8,0
|
5,6
|
4,1
|

|
0,44
|
0,585
|
0,68
|
0,74
|
0,78
|

|
0,17
|
0,25
|
0,32
|
0,36
|
0,40
|
0,6
|

|
24,1
|
13,6
|
9,0
|
6,6
|
5,0
|

|
0,44
|
0,58
|
0,67
|
0,73
|
0,78
|

|
0,16
|
0,24
|
0,29
|
0,33
|
0,365
|
0,5
|

|
26,5
|
15,5
|
10,5
|
7,9
|
6,2
|

|
0,43
|
0,58
|
0,67
|
0,72
|
0,77
|

|
0,15
|
0,21
|
0,26
|
0,29
|
0,32
|
0,4
|

|
28,5
|
17,7
|
12,7
|
9,8
|
7,9
|

|
0,43
|
0,57
|
0,66
|
0,72
|
0,76
|

|
0,13
|
0,18
|
0,22
|
0,245
|
0,265
|
0,3
|

|
31,5
|
20,5
|
15,2
|
12,0
|
9,9
|

|
0,43
|
0,57
|
0,65
|
0,71
|
0,75
|

|
0,105
|
0,145
|
0,17
|
0,19
|
0,20
|
0,2
|

|
34,8
|
23,6
|
18,0
|
14,5
|
12,2
|

|
0,42
|
0,56
|
0,64
|
0,69
|
0,73
|

|
0,07
|
0,10
|
0,12
|
0,13
|
0,14
|
0,1
|

|
38,2
|
26,7
|
21,0
|
17,3
|
14,6
|

|
0,42
|
0,55
|
0,63
|
0,68
|
0,72
|

|
0,04
|
0,05
|
0,06
|
0,065
|
0,07
|
1) Вычисляем
и 
для ряда значений , выбранных так, чтобы обеспечить нужный диапазон .
2) Вычисляем

и
.
3) Вычисляем

и
.
4) Вычисляем
.
5) Вычисляем
.
6) Значения , , для подходящих значений находим интерполяцией.
Пользование таблицей. Табл. 13.3 нужно пользоваться следующим образом. В левом столбце находим нужное значение . Пользуясь тем, что , находим, что увеличение дисперсии выхода (в %) будет равно . Подходящее значение находим в верхней строке. Итак, входными данными таблицы будут
а) , процентное уменьшение дисперсии ;
б) ;
в) .
Примем, например, , , . Уравнение оптимального регулирования без ограничений имеет вид

и . Предположим, что такая дисперсия входной переменной создает трудности при осуществлении производственного процесса, и желательно уменьшить до , т. е. до 28% от значения дисперсии в схеме без ограничений. По табл. 13.3 находим, что значениям и соответствуют постоянные схемы регулирования , . Решение уравнения регулирования (13.2.28) принимает вид
.
Такое решение соответствует значению . Следовательно, дисперсия выхода увеличится в раза, т. е. примерно на 7%.
|