2.9. Моделирование многомерных стационарных нормальных случайных процессовМногомерный стационарный случайный процесс определяется как совокупность
Многомерные случайные процессы используются при описании многомерных (многоканальных) систем. В настоящем параграфе рассматривается задача цифрового моделирования нормальных многомерных стационарных случайных процессов. Результатом решения этой задачи, как и в одномерном случае, является алгоритм, позволяющий формировать на ЦВМ многомерные дискретные реализации заданного процесса. либо в виде спектральной матрицы где
Дискретные многомерные нормальные случайные процессы задаются аналогично непрерывным с помощью корреляционных и спектральных матриц (35, 70] где Задачу цифрового моделирования многомерного нормального случайного процесса целесообразно сформулировать следующим образом. Задана корреляционная или спектральная матрица случайного процесса. Требуется отыскать алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса с заданными корреляционными (спектральными) свойствами. Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра. В рассматриваемом случае речь идет о синтезе многомерного формирующего фильтра.
где Аналогично описывается связь вход — выход в дискретных
где Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рис. 2.9, согласно которому
Видим, что каждый из выходных сигналов Пусть воздействие на входе для непрерывного времени и для дискретного времени, где Рис. 2.9 Можно показать (см., например, [35]), что при воздействии белого шума спектральная матрица процесса на выходе
где символом Следовательно, для получения Многомерная фильтрация белого шума осуществляется достаточно просто: каждая составляющая При данном способе моделирования возможны два пути: 1) заданную спектральную матрицу непрерывного Наибольшие трудности встречаются при факторизации спектральных матриц. В настоящее время разработаны алгоритмы факторизации лишь рациональных спектральных матриц, т. е. таких матриц, элементы которых являются дробно-рациональными функциями аргументов Опишем, опуская доказательства, один из алгоритмов факторизации рациональных спектральных матриц, взятый из [70]. Пусть задана рациональная спектральная матрица
Матрица путем следующих преобразований. 1. Определяется ранг матрицы 2. Матрица
где элементы матрицы имеют вид
С матрицей такая, что 3. Находится вспомогательная матрица элементы которой имеют следующий вид:
где
4. Находятся вспомогательные полиномы где
5. По способу, рассмотренному в § 2.9, п. 2, дробно-рациональные функции представляются в виде
где полиномы На этом процесс факторизации заканчивается. Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра записывается в виде
Здесь описан алгоритм факторизации рациональных спектральных матриц непрерывных многомерных процессов. Факторизация спектральных матриц дискретных процессов осуществляется аналогично, только вместо корней, расположенных в нижней полуплоскости, берутся корни, расположенные в единичном круге. Пример 1. Пусть задан двумерный непрерывный стационарный центрированный случайный процесс
где Корреляционная матрица, соответствующая спектральной матрице (2.114), имеет вид
где Требуется произвести факторизацию спектральной матрицы (2.114) для получения передаточной матрицы формирующего фильтра. Будем осуществлять процедуру факторизации поэтапно в соответствии с приведенным выше алгоритмом факторизации. 1. В данном случае ранг спектральной матрицы 2. Для приведения матрицы
3. В соответствии с выражениями (2.111) и (2.112) вспомогательная матрица 4. В рассматриваемом случае нужно найти лишь один вспомогательный полином
Следовательно,
5. На заключительном этапе требуется произвести факторизацию дробно-рациональных функций и
где В данном случае корни числителей и знаменателей у дробно-рациональных функций где полинома Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра в соответствии с (2.113) запишется в виде
Передаточную функцию
Путем непосредственной подстановки легко убедиться, что матрица
Элементы
На рис. 2.9 показана структурная схема двумерного формирующего фильтра, на выходе которого образуется двумерный случайный процесс с требуемыми спектральными характеристиками, если на вход фильтра воздействует белый шум. Заменяя непрерывный двумерный фильтр соответствующим дискретным фильтром, получим алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций двумерного случайного нормального процесса, т. е. дискретных реализаций двух стационарных и стационарно-связанных нормальных случайных процессов с экспоненциальными авто- и взаимно корреляционными функциями вида (2.115). При другом подходе к синтезу формирующего фильтра нужно сначала найти спектральную матрицу соответствующего дискретного многомерного случайного процесса где
Произведя факторизацию спектральной матрицы
Здесь
абсолютная величина которых больше единицы, где Передаточной матрице (2.116) соответствует следующий рекуррентный алгоритм формирования дискретных реализаций процессов где Написанные рекуррентные уравнения легко получить, если произвести идентификацию передаточных функций Рассмотренный пример показывает, что факторизация спектральных матриц осуществляется сравнительно просто, если удается аналитически найти нули соответствующих полиномов. При факторизации спектральной матрицы непрерывного двумерного процесса это не представляло труда, так как для определения нулей требовалось решать только квадратные и биквадратные уравнения. При факторизации спектральной матрицы дискретного двумерного процесса были квадратные уравнения и возвратное уравнение четвертой степени, также допускающее аналитическое решение. В других, более сложных случаях нули полинома не всегда удается найти аналитически. В этих случаях прибегают к численным методам решения уравнений Следует заметить, что все существующие в настоящее время алгоритмы факторизации спектральных матриц, вообще говоря, весьма трудоемки.
|