2.10. Моделирование нестационарных нормальных случайных процессов со стационарными приращениями
В данном параграфе рассматривается моделирование специального класса нестационарных нормальных случайных процессов, а именно случайных процессов со стационарными приращениями (СПСП).
По определению [71, 90], случайный процесс
со стационарными
-ми приращениями (СПСП-k) — это такой случайный процесс,
-я разность которого
является стационарным случайным процессом, где

Такому определению, как нетрудно видеть, удовлетворяют случайные процессы, у которых математическое ожидание
является полиномом
-й степени и
-я производная
представляет собой стационарный случайный процесс. В дальнейшем положим
.
СПСП используются, например, при описании траекторий движения некоторых целей в радиолокации [2], когда скорость, ускорение или более высокие производные закона движения целей можно считать стационарными случайными процессами. Другим примером СПСП является набег фазы генератора, модулированного по частоте стационарным случайным процессом [59, 71].
С точки зрения цифрового моделирования в качестве основной характеристики СПСП-k удобно использовать корреляционную функцию
-й разности процесса:
. (2.117)
Рассмотрим моделирование случайных процессов со стационарными
-ми приращениями по заданным корреляционным функциям их
-х приращений. Для получения моделирующих алгоритмов выразим
-ю разность
СПСП-k через значения самого процесса
.
Для СПСП-1
,
для СПСП-2
,
вообще, для СПСП -
, как нетрудно показать,
,
где
- биномиальные коэффициенты. Отсюда
.
Переходя к соответствующим дискретным функциям, получим
. (2.118)
Например, для случайного процесса со стационарными третьими приращениями
.
Согласно (2.118) передаточная функция дискретного линейного фильтра, формирующего из
-й разности СПСП-k дискретные значения самого процесса, имеет вид
. (2.119)
Итак, дискретные реализации СПСП-k можно формировать по рекуррентному алгоритму, используя дискретные значения
-й разности процесса. Поскольку
-я разность является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией (2.117), для формирования ее дискретных значений можно использовать рассмотренные выше алгоритмы.
Таким образом, для моделирования случайного процесса со стационарными
-ми приращениями можно использовать следующий способ. На ЦВМ с помощью рассмотренных выше алгоритмов моделируется стационарный дискретный случайный процесс
с корреляционной функцией
,
а из него согласно рекуррентному уравнению (2.118) формируется требуемый случайный процесс. При выработке начального значения
процесса
предыдущие его значения
, можно либо положить равными нулю, либо задаться ими, исходя из начальных условий решаемой задачи, например при моделировании траекторий целей, движущихся со случайным стационарным ускорением (СПСП-2), для нахождения
можно использовать заданные в качестве исходных начальные значения положения цели и ее скорости.
На практике случайный процесс со стационарными приращениями не всегда удобно характеризовать с помощью корреляционной функции его
-й разности. В ряде случаев в качестве основной характеристики СПСП-k целесообразно использовать корреляционную функцию
-й производной процесса, являющейся стационарным случайным процессом. В связи с этим представляет интерес рассмотреть моделирование СПСП-k по их заданной
-й производной.
Пусть
и
— корреляционная функция и энергетический спектр
-й производной случайного процесса
со стационарными
-ми приращениями. Требуется, используя
или
, найти алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса
.
Для получения такого алгоритма достаточно найти связь между корреляционной функцией
-й производной СПСП
-й корреляционной функцией
-й разности процесса, чтобы потом воспользоваться рекуррентной формулой (2.118). Эту связь можно найти следующим образом. Случайный процесс,
который является
-й производной от СПСП-k, наблюдается на выходе линейной системы с передаточной функцией
, когда на вход системы воздействует процесс
. Обратно, зная
можно восстановить исходный случайный процесс
(с точностью до начальных условий, которые в дальнейшем положим нулевыми), пропуская
через линейную систему с передаточной функцией
,
т. е. через интегрирующее звено
-го порядка.
В свою очередь,
-я разность
процесса
может быть получена путем пропускания его через линейную систему из одинаковых последовательно соединенных звеньев, состоящих из элемента задержки на
и вычитающего элемента (рис. 2.10) Передаточная функция такого звена
.
Следовательно, передаточная функция фильтра, преобразующего
в
, имеет вид
,
а частотная характеристика
.
Отсюда получаем, что энергетический спектр
-й разности
СПСП-k связан с энергетическим спектром
-й производной соотношением
. (2.120)
Нетрудно убедиться, что корреляционная функция
является при этом многократной сверткой вида
(2.121)
где

Таким образом, для моделирования СПСП-k по его
-й производной, имеющей энергетический спектр
, можно использовать следующий способ. На ЦВМ моделируется дискретный случайный процесс
, порождаемый непрерывным стационарным случайным процессом с энергетическим спектром
и функцией корреляции
, определяемыми выражениями (2.120), (2.121), а затем по рекуррентному алгоритму (2.118) формируется дискретный случайный процесс
, изображающий требуемый непрерывный случайный процесс
стационарными
-ми приращениями.

Рис. 2.10
Для описания случайных процессов со стационарными первыми приращениями в теоретических исследованиях обычно используется так называемая структурная функция [59, 71]
,
которая представляет собой зависимость дисперсии разности значений процесса, разделенных интервалом времени
.
Структурная функция
является четной функцией, причем
. Корреляционная функция
разности
СПСП-1 связана со структурной функцией зависимостью [59, 71]
.
Отсюда получаем, что если требуется синтезировать случайный процесс
со стационарными первыми приращениями и с заданной структурной функцией
, то для этого можно использовать следующий алгоритм:
,
где
— дискретный случайный процесс с корреляционной функцией
.
Полученные алгоритмы для моделирования СПСП-k не обладают методической погрешностью, если алгоритм формирования
-й разности процесса не имеет методической погрешности. При моделировании СПСП-k по его
-й производной нетрудно получить приближенные алгоритмы. Действительно, поскольку случайный процесс со стационарными
-ми приращениями можно рассматривать как
-кратный интеграл по его
-й производной, то, формируя дискретные реализации
производной
и подвергая их
-кратному суммированию (дискретному интегрированию), получим приближенные значения процесса
. Например, приближенный алгоритм формирования случайного процесса со стационарными первыми приращениями при замене непрерывного интегрирования дискретным по способу прямоугольников имеет вид
. (2.122)
Уравнению (2.122) соответствует дискретная передаточная функция
. (2.123)
В качестве дискретного интегрирующего звена
-го порядка при приближенном моделировании СПСП-k можно использовать цепочки, состоящие из
звеньев с передаточными функциями (2.123), т. е. фильтр с передаточной функцией
.
Тогда рекуррентный алгоритм для формирования
из
запишется в виде
.
Это наиболее простой, но наименее точный алгоритм, так как повторное приближенное интегрирование способом прямоугольников приводит к довольно быстрому накоплению ошибок. Для уменьшения ошибок нужно использовать другие известные алгоритмы
-кратного дискретного интегрирования повышенной точности. Дискретные передаточные функции интегрирующих звеньев
-го порядка этого типа даны в табл. З.1.
Приближенные алгоритмы моделирования СПСП-k, основанные на интегрировании
-й производной процесса, неудобно использовать в случаях, когда производная
представляет собой белый шум. Процессы с
-й производной в виде белого шума являются частным случаем СПСП-k. Это так называемые винеровские процессы
-го порядка [7, 8]. Моделирование винеровских процессов целесообразно производить с помощью точных алгоритмов, приведенных раньше.
Рассмотрим теперь примеры моделирования случайных процессов со стационарными приращениями.
Пример 1. Пусть для моделирования задан нормальный случайный процесс
со стационарными первыми приращениями и с корреляционной функцией производной
. (2.124)
В соответствии с (2.121) корреляционная функция дискретных значений разности
процесса
в точках
равна

где
.
Полученный интеграл легко вычисляется. В результате имеем
(2.125)
где
; (2.126)
- корреляционная функция дискретных значений производной процесса
.
Отсюда видно, что в данном случае корреляционная функция
с точностью до множителя
совпадает с корреляционной функцией
при всех
, кроме
. В точке
, как нетрудно убедиться,
.
В связи с этим можно записать
, (2.127)
где
. (2.128)
Дискретный случайный процесс
с корреляционной функцией (2.127) имеет, очевидно, спектральную плотность
,
где
определяется формулой (2.69) при
. Путем несложных преобразований можно произвести факторизацию спектральной плотности
, в резу штате получим
, (2.129)
где
; (2.130)
. (2.131)
Из формулы (2.129) непосредственно следует выражение для передаточной функции дискретного фильтра, формирующего из дискретного белого шума
с параметрами (0, 1) последовательность значений
первой разности моделируемого процесса:
.
Поскольку в соответствии с (2.119) передаточная функция фильтра формирующего из значений разности
значения
моделируемого процесса
, равна
,
то сквозная передаточная функция от
к
имеет вид
.
Таким образом, приходим к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений
случайного процесса со стационарными первыми приращениями и экспоненциальной корреляционной функцией производной [см. (2.124)]:

или
, (2.132)
где
- дискретный белый шум с параметрами
;
и
— коэффициенты, определяемые по формулам (2.130), (2.131) и ((2.128).
Результаты, полученные из рассмотрения данного примера, будут использованы в четвертой главе.
Пример 2. Рассмотрим моделирование винеровского случайного процесса 1-го порядка. Первая производная его является белым, шумом со спектральной плотностью
. Поскольку корреляционная функция производной процесса является
-функцией
,
то, очевидно, согласно (2.121)

Отсюда

Как и следовало ожидать, случайный процесс
является в данном случае дискретным белым шумом с дисперсией
. Используя это, в соответствии с общим алгоритмом (2.118) получаем следующий алгоритм для формирования дискретных реализаций винеровского случайного процесса 1-го порядка:
.
Пример 3. Найдем параметры рекуррентного алгоритма для моделирования винеровского случайного процесса 2-го порядка. Согласно формуле (2.121), полагая
, получим
(2.133)
После вычисления элементарных интегралов в (2.133) найдем
(2.134)
Корреляционной функции (2.134) соответствует спектральная плотность дискретного случайного процесса
вида
,
где
.
Отсюда для формирования последовательности значений
получаем следующее рекуррентное уравнение:
.
Окончательно для моделирования винеровского процесса 2-го порядка в соответствии с (2.118) имеем алгоритм
