1. Метод z-преобразования

Входной сигнал , действующий на линейную систему с передаточной функцией , при достаточно малом шаге дискретизации можно приближенно заменить модулированной последовательностью -функций с огибающей  и периодом . Это в схеме рис. 3.1 соответствует выбору в качестве интерполирующего фильтра безынерционного усилителя с коэффициентом усиления , т. е. выбору для аппроксимации входного сигнала  функции

.

При таком виде интерполяции импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части, как уже отмечалось в § 2.3, с точностью до множителя  совпадает с импульсной переходной характеристикой непрерывной системы. Следовательно, дискретная передаточная функция  эквивалентной импульсной системы равна -преобразованию дискретной импульсной переходной характеристики непрерывной системы, умноженному на :

.                                 (3.25)

(отсюда и название метода).

Импульсную переходную характеристику непрерывной системы с постоянными сосредоточенными параметрами, у которой передаточная функция

                              (3.26)

имеет в общем случае  различных полюсов  (корни уравнения ) кратности  каждый, так что , согласно известной теореме разложения (см., например, [41]), можно представить в виде

,                               (3.27)

где

.             (3.28)

В дальнейшем положим .

Из (3.27) следует

,                                   (3.29)

где, .

Подставляя разложение (3.29) в формулу (3.25) и используя свойство линейности -преобразования, получим

.           (3.30)

Передаточную функцию  (-преобразование от ) можно найти по таблицам дискретного преобразования Лапласа [85] или же, поскольку

,

то на основании теоремы дифференцирования -преобразования по параметру [85] можно записать

.                                 (3.31)

В частности, при  выражения для  приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

0
1
2
3
4
5

Итак, окончательное выражение для  по методу -преобразования дается следующей общей формулой:

,                                (3.32)

где  — нормированные значения полюсов передаточной функции системы, а коэффициенты  определяются по (3.28).

При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула (3.27) для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

,                              (3.33)

где

.              (3.34)

В соответствии с этим формула (3.32) переходит в формулу

,                (3.35)

где

.                                             (3.36)

Нулевой полюс передаточной функции с простыми полюсами (если такой имеется) можно выделить особо, тогда

,

,                (3.37)

.             (3.38)

Если полюсы , передаточной функции простые и ни один из них не равен нулю, то формула (3.38) принимает вид

.