3. Моделирование узкополосных линейных систем с помощью комплексных рекуррентных разностных уравненийОказывается, что алгоритмы вида (3.98) при определенных условиях можно заменить более экономичными рекуррентными алгоритмами [17], т. е. разностные методы, описанные в § 3.3, допускают обобщение на случай цифрового моделирования комплексных линейных фильтров, к которым по методу огибающих сводятся узкополосные линейные системы. Такое обобщение возможно, если передаточная функция комплексного фильтра является дробно-рациональной функцией вида
где Последнее имеет место в целом ряде практически важных случаев. Действительно, передаточная функция Так например, комплексный коэффициент передачи усилителя промежуточной частоты (УПЧ) с одиночными настроенными в резонанс контурами равен [27]
где Комплексные коэффициенты передачи УПЧ с попарно расстроенными контурами и УПЧ с двухконтурными полосовыми фильтрами имеют одинаковый вид
где Передаточные функции
Таким образом, получили, что передаточные функции комплексных фильтров в данных примерах являются дробно-рациональными. Это имеет место и в других случаях. Для получения рекуррентных уравнений, моделирующих процессы комплексной фильтрации, нужно, как и в случае вещественной фильтрации, перейти от непрерывных дробно-рациональных передаточных функций комплексных фильтров к эквивалентным дискретным передаточным функциям. Для этой цели полностью пригодны все методы дискретной аппроксимации, описанные в § 3.3. Применяя их, придем к дробно-рациональным дискретным укороченным передаточным функциям и рекуррентным уравнениям вида
Здесь в отличие от (3.23) и (3.24) коэффициенты Структурная схема дискретного комплексного фильтра с передаточной функцией (3.102) будет такой же, как схема, показанная на рис. 2.2, если в последней заменить вещественные дискретные сигналы Пример 1. Пусть в качестве узкополосной системы задан однокаскадный УПЧ с двухконтурным полосовым фильтром при оптимальной связи между контурами (
Выберем для простоты величину
Пусть на входе УПЧ действует некоторый непрерывный узкополосный сигнал
где Реакцию УПЧ на сигнал
где Для получения рекуррентного моделирующего алгоритма воспользуемся, например, методом Цыпкина — Гольденберга (см. § 3.3). Передаточная функция
Следовательно,
Для нахождения дискретной передаточной функции
где Учитывая, что
После элементарных преобразований окончательно получим
где Идентифицируя передаточную функцию
В данном случае коэффициенты Уравнение (3.104) является простым алгоритмом, моделирующим процесс преобразования колебания с произвольными законами амплитудной и фазовой модуляции при прохождении его через УПЧ со связанными контурами. Формула (3.104) в отличие от формулы дискретного свертывания (3.89), которую также можно было бы применить в данном случае, при любом шаге
|