3.4. Спектральные и ортогональные представления

В этом разделе будут рассмотрены два метода характеризации случайных процессов, которые связаны с разложением сигнала на простые элементарные составляющие.

Спектральное представление. Средняя мощность -й реализации случайного скалярного эргодического процесса

(3.36)

Для того чтобы ввести преобразование Фурье сигнала , который может иметь бесконечную энергию, рассмотрим сначала усеченный сигнал с нулевым средним

(3.37)

Преобразование Фурье усеченного сигнала имеет вид

. (3.38)

Средняя мощность усеченного сигнала или исходного сигнала на интервале от - до в соответствии с теоремой Парсеваля

(3.39)

равна

(3.40)

Назовем величину спектральной плотностью мощности -й реализации на интервале времени и обозначим ее через . Определим спектральную плотность случайного сигнала как предел (при ) среднего по ансамблю спектральной плотности мощности реализации

(3.41)

где

(3.42)

Для того чтобы этот результат был справедлив, мы должны ввести ограничение, состоящее в том, что — сходящаяся несмещенная оценка в том смысле, что

Для выяснения условий, при которых выполняется первое требование, рассмотрим выражение

(3.43)

которое заменой переменных приводится к виду

(3.44)

Первый интеграл в этой формуле представляет собой искомый результат. Второе слагаемое должно стремиться к нулю при . Для этого необходимо потребовать, чтобы

(3.45)

Это и есть то ограничение, которое необходимо при определении (3.41). Если это ограничение выполняется, то из (3 44) следует соотношение

(3.46)

отсюда видно, что спектральная плотность (для эргодического процесса) является преобразованием Фурье от ковариационной функции.

Следует заметить, что мы могли бы определить спектральную плотность просто как преобразование Фурье от ковариационной функции стационарного случайного процесса. Продолжая, как и раньше, наши рассуждения и используя понятие средней по времени мощности, мы ограничимся эргодическими процессами. Преимущество получения спектральной плотности с помощью преобразования ковариационной функции случайного процесса по сравнению с ее определением из преобразования Фурье или двойного преобразования Лапласа заключается в том, что можно избежать трудностей, связанных со сходимостью (3.41). В теории гармонического анализа случайных процессов тот факт, что корреляционная функция и спектральная плотность составляют пару преобразований Фурье, известен под названием теоремы Винера-Хинчина [274]:

(3.47)

Формулу Винера—Хинчина можно также выразить через косинус-преобразование Фурье. Легко показать, что ковариационная функция и спектральная плотность симметричны, т. е. Используя формулу Эйлера, получим из (3.47) (где ):

(3.48)

(3.49)

Можно также определить спектральные плотности для стационарных случайных последовательностей (случайных процессов с дискретным временем). Для скалярной случайной величины в стационарном случае можно определить

(3.50)

где принимает только целые значения.

Дискретную спектральную плотность определим как дискретное преобразование Фурье или двойное преобразование ковариационной функции случайной последовательности. Таким образом, имеем дискретный вариант теоремы Винера—Хинчина:

(3.51)

Понятие дискретной спектральной плотности в дальнейшем используется редко, но случайные последовательности будут рассматриваться часто.

Результаты этого раздела непосредственно обобщаются на векторный случай. Матричная спектральная плотность определяется следующим образом:

(3.52)

Теорема Винера—Хинчина в векторном случае записывается в виде

(3.53)

Переход к векторным дискретным последовательностям осуществляется непосредственно и, следовательно, нет необходимости приводить здесь отдельно соотношения для этого случая.

Ортогональные представления. Рассмотрим усеченный во времени сигнал, энергия которого конечна:

(3.54)

Выясним, можно ли записать в виде бесконечного ряда

(3.55)

где — совокупность ортонормальных функций. Простым примером совокупности ортонормальных функций служат функции . Совокупность этих функций ортонормальна на интервале , так как согласно определению ортонормальности функций

(3.56)

где — символ Кронекера. Ясно, что временной интервал ортогональности может быть произвольным; чаще всего используется интервал .

Коэффициенты в разложении по ортогональным функциям выбираются так, чтобы величина

(3.57)

интегральной квадратичной ошибки аппроксимации конечной суммой была минимальна для каждого . Положив и используя ортонормальность совокупности получим величины:

(3.58)

которые, как нетрудно показать, минимизируют в ф-ле (3.57). Можно также показать, что при , что указывает на среднеквадратичную сходимость, так как .

Коэффициенты в (3.58) могут принимать те или иные значения в зависимости от выбора системы ортогональных функций . Целесообразно выбрать так, чтобы имели нулевое среднее значение и были некоррелированны:

(3.59)

Если подставить из (3.58) в (3.59), получим

(3.60)

Это соотношение выполняется при условии

(3.61)

Неотрицательные числа называют собственными значениями, a — собственными функциями интегрального ур-ния (3.61). Разложение (3.55) при выполнении условия (3.59) известно как разложение Карунена—Лоева [50].

Пример 3.1. В гл 6 рассматривается задача оценки параметра неизвестного постоянного параметра по наблюдению за известной функцией, зависящей от . Наблюдение искажается аддитивным шумом, так что . Если используется ортогональное представление модели наблюдения, так что

то находим . Случайные величины представляют собой функционалы наблюдаемого процесса и иногда их называют наблюдаемыми координатами. Можно оценить на основании первых значений , а затем, при необходимости, устремить к бесконечности. Как будет показано, это представление позволяет получить достаточную статистику при затрате относительно небольших усилий и, таким образом, оно весьма полезно при решении задач теории решений и оценок. Теперь приведем пример, физически более мотивированный.

Пример 3.2. Одним из фундаментальных случайных процессов является винеровский процесс , который получается при прохождении белого шума через интегратор

Корреляционная функция винеровского процесса

Для этого процесса на интервале ур-ние (3 61) приводится к виду

Решение приведенного интегрального уравнения может быть получено с помощью ортогональных рядов. Эффективным методом решения является преобразование интегрального уравнения в дифференциальное. Другие методы приведены в работах [89], [269]. Если дважды продифференцировать интегральное уравнение по времени, получим . Решение этого уравнения ( так как и ), положительны имеет вид . Подставляя это решение в интегральное уравнение, получим

Для того чтобы последнее уравнение было справедливым при любых и , необходимо положить , чтобы член который не зависит от времени и , был равен нулю. Полагая , получим Это равенство выполняется при любых , если . Так как - совокупность ортонормальных функций, то и, следовательно, ортогональное представление винеровского процесса имеет вид

где

Рис. 3.2. Структурная схема генератора случайных функционалов для ортогонального разложения

На рис. 3.2 показана структурная схема генератора ортогональных коэффициентов. На первый взгляд может показаться, что мы сильно усложняем любую задачу, вводя разложение по ортогональным функциям. На самом деле это не так. Как будет показано в гл 5 первое несколько коэффициентов (чаще всего первый) дают уже всю необходимую информацию для того чтобы принять оптимальное решение или получить оптимальную оценку. Эти несколько коэффициентов будем называть достаточной статистикой. Такая простая трактовка термина, конечно, удачна для частного примера, но не при любом ортогональном представлении случайных процессов.