3.5. Реакция линейных системВ § 2.4 были рассмотрены алгебраические действия над случайными величинами. Основной результат был представлен ф-лой (2.97). Необходимо распространить этот результат на случайные процессы. Однако для случайных процессов из-за временной зависимости необходимо рассматривать динамические преобразования, т. е преобразования, которые описываются дифференциальными или разностными уравнениями. Поскольку результат динамического преобразования зависит как от предыдущей, так и от текущей информации, процесс, полученный таким преобразованием, должен быть «более коррелированным» и в этом смысле менее случайным, чем входное воздействие «Сглаживание» случайных данных в результате динамического преобразования является, как мы видим дальше, одним из основных принципов теории оценивания. К сожалению, имеется мало общих формул динамических преобразований и операции, требуемые для их выполнения, в некоторых специальных случаях могут быть чрезвычайно сложными. Мы ограничимся линейными системами и будем иметь дело только со средними значениями и моментами второго порядка. В § 4.5 будет дано обобщение на довольно широкий класс нелинейных систем. Хотя рассмотрение ограничивается только средним и моментами второго порядка выходного процесса, для нормальных распределений такое рассмотрение эквивалентно полному статистическому описанию процесса. В § 4.2 показано, что результатом любой линейной операции над нормальным распределением будет также нормальное распределение. Следовательно, если входное воздействие на линейную инерционную систему нормальное и если можно определить среднее и второй момент процесса на выходе, то тем самым полностью определяется выходное распределение. Наше изложение содержит две части непрерывные процессы и дискретные процессы. Начнем с непрерывных процессов. Класс непрерывных динамических преобразований, который нам предстоит рассмотреть, задан векторным дифференциальным уравнением первого порядка с меняющимися во времени коэффициентами
Положим, что исходные средние и вторые моменты
Мы не предполагаем, что Решение ур-ния (3.62) имеет вид
где переходная матрица состояния системы
с граничным условием
Это решение, которое очень легко проверить, получено путем элементарных преобразований переменных состояния [223]. Среднее значение где
Заметим, что выражение для Интегральное представление (3.67) для где используется (3.65) для замены
Последнее соотношение можно также получить усреднением (3.62). Можно получить Перейдем теперь к определению ковариационной функции Произведя еще раз перестановку операций интегрирования и усреднения и используя предположение, что
При этом опять появляется интеграл свертки. Прежде чем производить дальнейшее преобразование этого выражения, рассмотрим выражение для Используя, как и раньше, решение (3.64), находим, что для После несложных преобразований получим Так как
Формулы (3.69) и (3.70) представляют собой наиболее общие из полученных нами выражений для вторых моментов
Заметим, что мы не требуем, чтобы и, используя свойство дельта-функции, находим
Отсюда следует, что в точке Используя ф-лы (3.70) и (3.71), находим выражение для Следует внимательно отнестись к порядку интегрирования. Для того чтобы гарантировать попадание точки, в которой наблюдается всплеск дельта-функции, в область интегрирования, необходимо вначале интегрировать по переменной, имеющей больший диапазон. Другими словами, если
Хотя эта формула проще, чем (3.70), однако из-за наличия интеграла свертки пользоваться ею не просто. Для упрощения этого выражения удобно вначале ограничиться случаем, когда
где При получении второго выражения мы использовали тот факт, что
Уравнение (3.75) представляет собой искомый результата дает возможность определить
Формулу (3.75) также легко получить непосредственно путем дифференцирования выражения для где для удобства полагаем, что
Искомые ковариационные функции С учетом последних выражений ф-ла (3.77) переходит в (3.75). Следует иметь в виду, что ф-лы (3.72)-(3.75) справедливы только, если Пример 3.3. Для иллюстрации полученного выражения рассмотрим простой скалярный случай. Динамическая модель задается уравнением Предположим, что состояние системы при Дифференциальное уравнение для среднего значения имеет вид [ур-ние (3.68)] Уравнение для дисперсии Читателю рекомендуется получить эти результаты, используя интегральные ур-ния (3.67) и (3.74). В то время как дисперсия входного шума Выходная дисперсия изменяется по синусоидальному закону, но никогда не обращается в нуль, как дисперсия входного воздействия Пример 3.4. Рассмотрим следующую «модель сообщения» где где которое имеет тот же вид, что и ур-ние (3.62), при белом шуме. Следовательно, в рассматриваемом случае можно использовать ф-лы (3.75) и (3.76) для определения Таким образом, полученные выше выражения для вторых моментов действительно являются весьма общими. Очень важный подкласс задач охватывает стационарные (по крайней мере, в широком смысле) процессы, для которых средние значения постоянны, а вторые моменты зависят только от разности
где Если В стационарном случае выражение для взаимной ковариационной функции между входным и выходным сигналами имеет вид [см ф-лу (3.69)] где
Для получения стационарного решения достаточно, чтобы входное воздействие было приложено с момента
Может показаться, что Из условия физической осуществимости системы следует, что
Полученный результат снова имеет вид интеграла свертки, который, хотя и является более простым, чем в общем нестационарном случае, все же неудобен для вычислений. Следует помнить, что при выводе (3 81) мы не ограничиваемся случаем белого шума Формулу (3.81) можно записать иначе, положив
Поскольку выражение (3.81) аналогично стандартному интегралу свертки для детерминированных систем, целесообразно провести преобразование Фурье ф-лы (3.81), что даст возможность получить выражение для взаимной спектральной плотности где Меняя порядок интегрирования, получим
Представим теперь Выражение в скобках является преобразованием Фурье от
или
Ясно, что взаимная спектральная плотность
Как известно из теории переменных состояния, резольвента и может быть легко определена с помощью алгоритма Леверье. Формулами (3.84) и (3.85) легко пользоваться, так как они включают в себя только алгебраические действия. Выражение (3.70) для второго момента выходного процесса принимает в стационарном случае следующий вид: Если снова положить
Теперь сделаем подстановку или Здесь нижние пределы в обоих интегралах можно без изменения результата положить равными
Объединяя ф-лы (3.87) и (3.82), замечаем, что выражение в скобках есть просто
С помощью замены переменных легко показать, что
Выражение для спектральной плотности
Формулы для спектральной плотности (3.84) и (3.90) могут быть также получены более простым путем. Предположим, что
и
Выражение для
или
Поэтому и что совпадает с результатом, полученным выше при строгом выводе. Хотя приведенный способ формальный и нужно поэтому быть осторожным при его применении к нестандартным случаям, он тем не менее часто используется. Пример 3.5. Используем ф-лы (3.85) и (3.90) для определения спектральных плотностей Предположим, что спектральная плотность
где Заметим, что Аналогично получаем выражения для Дополнительные примеры читатель найдет в библиографических ссылках, приведенных в конце этой главы. Перейдем к рассмотрению дискретных систем. Изложение вопросов, относящихся к дискретным системам, в этом разделе точно соответствует приведенному выше изложению, относящемуся к непрерывным системам. По этой причине многие доказательства значительно сокращены. Переход к дискретным системам осуществляется с помощью векторного разностного уравнения первого порядка: где
Запишем среднее значение и второй момент в виде
Получим результирующее и разностное уравнения для среднего и второго моментов
Если усреднить обе части (3.96), то получим
Разностное уравнение для
Результирующие выражения для ф-лы (3.98):
где Если выборки случайного процесса некоррелированны или если он “белый”, так что
Это выражение можно записать в виде
Для случая, когда выборки
откуда с учетом определения символа Кронекера
Чтобы вывести разностное уравнение для
Это уравнение после некоторых алгебраических преобразований можно привести к виду
Из (3.101) или непосредственно из физических соображений ясно, что
Легко показать, что когда Читателю рекомендуется самостоятельно доказать, что выражение (3.102) для Пример 3.6. Для того, чтобы показать, как использовать выражения (3.98) и (3.104) для
Шум на входе – белый с нулевым средним Среднее значение выходного процесса можно найти из (3.98), которое для этого примера имеет вид
Легко убедиться, что решение этого уравнения имеет вид с начальным условием Интересно отметить, что здесь Это вполне приемлемый и корректный ответ, если вспомнить, что Рассмотрим теперь стационарный случай для дискретных систем. Для инвариантных во времени систем выражение (3.94)можно заменить уравнением
где Среднее значение выходного процесса можно легко определить усреднением обеих частей уравнения (3.105):
Если входной процесс стационарен в среднем, выходной процесс также стационарен (по крайней мере, в широком смысле), или
Решение ур-ния (3.106) имеет вид
Здесь для простоты и без потери общности мы предположили, что в начальной точке система находится в состоянии покоя Для того чтобы исключить явную зависимость от
Из условия физической осуществимости системы следует, что
Теперь можно получить выражение для спектральной плотности с помощью
Меняя порядок суммирования и записав
Выражение в скобках представляет собой или
Подобным же образом можно показать, что второй момент на выходе или
а спектральная плотность – выражением
Соотношения между дискретными и непрерывными процессами. Связь между непрерывным и дискретным белым шумом устанавливается предельным переходом от ковариационной функции дискретного белого шума:
к ковариационной функции непрерывного белого шума
где Строгое изложение этих результатов представлено в гл.4. Покажем, что выражение (3.104) переходит в (3.75). Прежде всего, заметим, что уравнение системы
переходит в пределе в непрерывное уравнение
когда выборки берутся часто. Матрицы в предыдущих двух выражениях связаны между собой следующим образом:
Также просто показать, что этот предельный переход дает возможность перейти от дискретного уравнения
к непрерывному
как это видно при подстановке ф-л (3.118) и (3.119) в (3.120).
|