4.5. Среднее значение и дисперсия процесса на выходе нелинейной системыСистемы с непрерывным временем. Найти решение уравнения Фоккера-Планка часто оказывается невозможным. Но для целей данной книги обычно достаточно знать лишь вектор средних значений и ковариационную матрицу процесса Рассмотрение начнем с нелинейной системы, возбуждаемой винеровским процессом и описываемой уравнением
где
Как и ранее, введем обозначения
и запищем уравнение системы в виде
где
В принципе, переходную плотность вероятности процесса можно получить как решение уравнения Фоккера-Планка (4.128) которое при введенных обозначениях записывается следующим образом:
Практически же решить это уравнение удается лишь в том случае, когда функция
или, в несколько иных обозначениях,
Аналогично
Преобразуем уравнение Фоккера-Планка (4.145) в стохастическое дифференциальное уравнение [имея в виду, что
где интеграл от правой части равенства (4.149) вычислялся по частям при следующих граничных условиях: для всех
Для приближенного вычисления величины
где
Для последнего слагаемого в выражении (4.151) удобно использовать также и другое обозначение
которое впредь будет использоваться для любой матрицы
в котором
Из этого соотношения следует, что для вычисления среднего значения процесса Если в разложении функции
то стохастическое дифференциальное уравнение для среднего значения процесса
Его можно записать как «обычное» дифференциальное уравнение
Во многих случаях оказывается, что абсолютное значение производной Получим теперь выражение для ковариационной матрицы (4.155) процесса
которое перепишем следующим образом:
Умножая обе части уравнения Фоккера-Планка (4.149) на эквивалентные выражения матрицы
К сожалению, решить для общего случая это уравнение не удается. Поэтому снова воспользуемся аппроксимациями функций
основывающееся на разложении функций
Разделив обе части этого уравнения на
Часто последнее слагаемое в этом уравнении оказывается малым и его можно опустить; получающееся при этом уравнение по точности сравнимо с ур-нием (4.158). Таким образом, для нелинейной системы, описываемой дифференциальным уравнением
где
получены две системы приближенных уравнений, позволяющих определить эволюцию вектора средних значений и ковариационной матрицы вектора переменных состояния
при которых
Если же используется аппроксимация с учетом членов разложения второго порядка, т. е.
где
Для решения систем ур-ний (4.169) и (4.170) или (4.173) и (4.174) необходимо указать начальные условия
Уравнения (4.169) и (4.170), найденные при использовании приближений первого порядка, можно получить также путем линеаризации системы, описываемой дифференциальным ур-нием (4.165). Используя разложения слагаемых в ф-ле (4.165) относительно среднего значения процесса
или
где
- матричный коэффициент линеаризованной системы, а
- шум на входе линеаризированной системы, для которого
Используем теперь полученные ранее соотношения, определяющие эволюцию среднего значения и ковариационной матрицы вектора состояния линейной системы. Такими соотношениями являются ур-ния (3.146) и (3.153):
Подставляя в эти уравнения выражения для Конечно, ур-ния (4.173) и (4.174), при выводе которых использовались приближения второго порядка, нельзя получить из линейной теории, изложенной в гл. 3. Часто оказывается, что линеаризированные уравнения, или уравнения первого порядка, обеспечивают точность, вполне достаточную для многих приложений. Однако в гл 9 будет показано, что использование линеаризированных уравнений, аналогичных ур-ниям (4.169) и (4.170), в задачах оценивания может привести к расходящимся оценкам Применение нелинейных уравнений, аналогичных ур-ниям (4173) и (4.174), уменьшает или вовсе устраняет эффект расходимости, который обусловлен в основном неточностью модели Такая неточность обычно возникает при выборе уравнения системы либо при выборе параметров начальных условий Пример 4.5. Вычислим среднее значение и дисперсию процесса Приближения первого порядка в данном случае приводят к правлениям [ф-лы (4.69) и (4.170)]
Решение этой системы при начальных условиях Подобные среднее значение и дисперсию имеет процесс на выходе линейной системы (интегратора), описываемой уравнением Приближения второго порядка для рассматриваемого примера приводят к системе уравнений (см. ф-лы (4.173) и (4.174)] Снова, если Рис 4.1. Среднее значение процесса Дискретные системы. Уравнение Фоккера-Планка нельзя применить формально к исследованию процессов в дискретных системах. Поэтому здесь кратко рассмотрим другой вспомогательный подход. Получим уравнения, описывающие из менения среднего значения ю ковариационной матрицы вектора значения ю ковариационной матрицы вектора переменных состояния
где
Рис 4.2 Дисперсия процесса Разложим функции
Аналогичные уравнения, полученные при использовании аппроксимации второго порядка, записываются следующим образом:
где слагаемое
получено из
после применения формулы разложения момента четвертого порядка нормальной случайной величины и учета того факта, что центральные моменты третьего порядка нормальных случайных величин равны нулю. Часто оказывается возможным пренебречь слагаемым
Полезно рассмотреть случай, когда в этих приближенных выражениях частота отсчетов неограниченно увеличивается. Предположим, что справедливы следующие предельные соотношения связывающие свойства белого шума при дискретном и непрерывном времени: и пусть также
В этом случае при увеличении частоты отсчетов в ур-ниях (4.186) и (4.187) приходим к ур-ниям (4.169) и (4.170). Аналогичным образом можно показать, что при некоторых условиях ур-ния (4.188) и (4.189) при увеличении частоты отсчетов переходят в ур-ния (4.173) и (4.174), полученные лри аппроксимации второго порядка для непрерывного времени. Здесь важно отметить, что слагаемое
|