Глава 5. ТЕОРИЯ РЕШЕНИЙ

5.1. Введение

Проверка статистических гипотез и оценивание вектора переменных состояния систем или параметров наблюдаемых процессов являются двумя важнейшими разделами общей теории статистических выводов В данной главе излагаются основные результаты теории проверки гипотез или теории решений. Кроме освещения некоторых аспектов классической теории решений, здесь обсуждаются также вопросы применения результатов этой теории к задачам связи и управления.

Можно привести много примеров задач, при решении которых существенную роль играют методы теории решений (в технической литературе по вопросам связи теория решений часто называется теорией обнаружения) В локации на основе принимаемого сигнала необходимо решить вопрос о наличии и ли отсутствии цели, по результатам анализа среза ткани какого либо органа человека можно пытаться определить наличие или отсутствие раковой опухоли.

В каждом из указанных случаев необходимо выбрать лишь один ответ из двух возможных — да, нет, — которым удобно поставить в соответствие гипотезы  и . Довольно часто встречаются задачи, в которых число гипотез больше двух, в таких случаях требуется решить, какую одну из возможных гипотез следует принять.

В каждом рассматриваемом случае удобно считать, что выбор одной из возможных гипотез осуществляется некоторым источником, выходной сигнал которого однозначно определяет вид гипотезы Однако выходной сигнал этого источника недоступен непосредственному наблюдению, так как в противном случае проблема выбора решения просто не существовала бы. Наблюдению доступен только результат преобразования выходного сигнала источника; можно считать, что это преобразование осуществляется устройством, между выходным и входным сигналом которого существует только вероятностная связь — вероятностный механизм перехода. При каждом фиксированном сигнале на входе этого устройства выходной сигнал, который можно рассматривать как точку из пространства наблюдений, выбирается согласно некоторой вероятностной мере, заданной на этом пространстве. По полученным наблюдениям с помощью правила выбора решения выбирается одно из возможных «решений, указывающее, какую гипотезу Следует принять Правило выбора решения должно учитывать не только результаты наблюдений, но и априорные вероятности различных гипотез, а также условные вероятности, характеризующие вероятностный механизм перехода. Если априорные вероятности гипотез  и  обозначить соответственно как  и , то , поскольку одна из этих гипотез обязательно должна быть справедливой После получения одного наблюдения 2, представляющего собой искаженный помехой сигнал, необходимо вынести решение о справедливости одной из гипотез .

Статистические характеристики помехи  в общем случае могут зависеть от того, какая из гипотез является справедливой. Знание вероятностного механизма перехода эквивалентно знанию плотностей вероятности помех ; как правило, эти помехи в дальнейшем будем называть шумом измерения. Схема, приведенная на рис. 5.1, иллюстрирует последовательность преобразований, выполняемых при вынесении решения в бинарном случае.

В бинарной задаче -выбора решения возможны ошибки двух типов Можно ошибочно принять гипотезу , когда она на самом деле неверна, либо принять гипотезу , когда в действительности верна гипотеза . В локации, где гипотеза  соответствует отсутствию, a  —наличию цели и, следовательно, отраженного от нее сигнала, принятие гипотезы , когда на самом деле она неверна, называют пропуском сигнала, а вероятность принятия такого решения — вероятностью пропуска . Величина  называется вероятностью правильного обнаружения. Принятие гипотезы , т. е. решения о том, что цель присутствует, когда эта гипотеза несправедлива и цели в действительности нет, называется ложной тревогой, а вероятность такого решения — вероятностью ложной тревоги .

Рис 5.1 Элементы бинарной задачи теории решений: 1 — источник, 2 — вероятностный механизм перехода, 3 — пространство наблюдений, 4 — правило выбора решения

Смысл этих величин можно пояснить графически. Для этого рассматриваемую задачу выбора решения сформулируем следующим образом Будем считать, что при гипотезе  на пространстве наблюдений задано распределение с плотностью вероятности , a при  — распределение с плотностью вероятности .

Цель принятия решения теперь состоит в том, чтобы при полученном наблюдении  выбрать одну из двух указанных плотностей:  или ,  как наиболее правильно характеризующую вероятностное распределение на пространстве наблюдений. Если наблюдение  является скалярной величиной, то рассматриваемые плотности можно изобразить, например, так, как на рис. 5.2. Предположим, что правило выбора решения состоит в том, чтобы получаемый результат наблюдения  сравнивать с некоторым пороговым значением , причем, если , то принимается гипотеза , если же выполняется обратное неравенство, то принимается гипотеза . В действительности величина  обычно определяется как достаточная статистика, значение которой вычисляется не по одному единственному наблюдению, а по нескольким. Однако здесь удобно предположить, что  — скалярная величина.

Рис 5.2 Плотности вероятности и пространстве наблюдений и вероятности пропуска сигнала и ложно тревоги

В этой главе «сначала рассматривается задача обнаружения известного сигнала, наблюдаемого на фоне шума, а затем обсуждается обнаружение случайного сигнала в шуме.

В § 5.2 задача обнаружения решается в предположении, что решение о наличии или отсутствии сигнала должно выноситься по одному единственному наблюдению. Эти результаты обобщаются на случай многократных наблюдений в § 5.3. Задача различения нескольких гипотез (больше двух) обсуждается в § 5.4. Исследование проблемы проверки гипотез по выборкам фиксированного объема завершается рассмотрением сложных параметрических гипотез. Объем выборки, требуемый для вынесения решения, часто можно существенно уменьшить, если использовать последовательные правила выбора решения, которые рассматриваются в § 5.6. Такие правила позволяют выносить решения после каждого наблюдения. В заключение главы задачи последовательного анализа изучаются для важного случая нормальных шумов измерений и марковских моделей сигналов. Приводимые здесь результаты получены с использованием метода переменных состояния.