2.5. Средние значенияВ предыдущих разделах рассматривались понятия вероятности, плотности вероятностей и функции распределения вероятностей для одной и более чем одной случайной величины. Мы видели, что вероятности соответствуют относительным частотам появления событий и не удивительно поэтому, что средние значения (математические ожидания) случайных величин или векторов могут быть определены из функции распределения вероятностей случайных величин. Рассмотрим дискретную случайную величину
Вероятность наступления события
Объединяя (2.101) и (2.102), получим выражение среднего значения через вероятность наступления событий
При возрастании
При
Когда распределение дискретное
подстановка (2.106) в (2.105) непосредственно приводит к ф-ле (2.103) для среднего значения дискретной случайной величины. С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использовались при выводе ф-лы (2.105), получим выражение для среднего значения случайного вектора
Понятие среднего может быть распространено и на случайный вектор
при помощи основной теоремы о среднем значении
С помощью этой теоремы можно получить математические ожидания значений степеней случайного вектора. Таким образом, определяют различные статистические моменты. Величина
называется
Особенно важными являются среднее значение
Эти понятия можно без каких-либо изменений применять и для векторного случая, когда вводятся понятия среднего значения вектора, матрицы среднеквадратических значений и ковариационной матрицы вектора
где
Отсюда следует, что члены главной диагонали ковариационной матрицы представляют собой дисперсию случайных величин, образующих случайный вектор. Можно определить моменты непосредственно из характеристических функций, которые получаются, если положить в (2.108)
Тогда
Для скалярной случайной величины
Используя приведенные результаты, легко показать, что среднее значение суммы случайных величин равно сумме средних значений слагаемых. Важно отметить, что при этом нет необходимости в специальной оговорке относительно статистической независимости. В большинстве задач, которые рассматриваются в дальнейшем, появляются случайные величины, зависящие от других случайных величин. Поэтому закончим главу определением моментов случайных величин, зависящих от других случайных величин. Условное среднее значение случайной величины
Безусловное среднее значение случайной величины
Так как индивидуальная плотность вероятности В этом выражении легко выделить условное математическое ожидание (2.122). Таким образом, получим соотношение между условным и безусловным средними значениями
или
где индексация используется для выделения случайной величины, для которой находится среднее. Как правило, мы не будем использовать индексацию моментов распределения, если только это не будет необходимо для ясности. Условная дисперсия
Для условных дисперсий можно получить выражения, аналогичные ф-лам (2.124) и (2.125). Легко показать, что
где все символы усреднения относятся к
где введены индексы для дисперсий, чтобы исключить возможную путаницу. Объединив полученные результаты (с 2.127), увидим, что дисперсия случайной величины
Определяя условную характеристическую функцию
можно использовать ее для получения различных моментов. В частности, имеем
|