Эвристика Липшица – Гёльдера
Фрактальная размерность является по своему происхождению локальным свойством, несмотря на то, что в настоящем эссе локальные свойства оказывают влияние на свойства глобальные. Таким образом, имея дело с графиком во всех иных отношениях произвольной непрерывной функции
, следует соотносить размерность
с другими локальными свойствами. Одним из наиболее полезных локальных свойств является показатель Липшица – Гёльдера (ЛГ)
. Суть условия ЛГ при
состоит в том, что
при
;
аналогично оно выглядит и для случая
. Глобальный ЛГ – показатель в интервале
имеет вид
. Если функция
не является постоянной,
.
ЛГ – эвристика и размерность
. Если известен показатель
, то количество квадратов со стороной
, необходимых для покрытия графика функции
между моментами времени
и
, приблизительно равно
. Таким образом, можно покрыть график функции
на участке
с помощью
квадратов и приблизительно оценить размерность функции как
. Этот способ оценки
мы будем называть эвристикой Липшица – Гёльдера. Он устойчив и весьма эффективен.
Примеры. Если функция
дифференцируема для всех
между 0 и 1, а точки, в которых
, в расчет не принимаются, то на всем интересующем нас интервале
, и количество квадратов, необходимых для покрытия графика функции, равно
. Отсюда
, что, конечно же, верно.
Если
- броуновская функция (обыкновенная или дробная), то можно показать, что
. Эвристическое значение
приблизительно равно
, т.е.
, что опять же согласуется с известной размерностью
.
Харди [194] показывает, что для функций, описанных в разделе функция Вейерштрасса …
. Следовательно, можно предположить, что их размерность Хаусдорфа – Безиковича равна
.
Совершенно иначе обстоит дело с канторовой лестницей (см. рис. 125). Областью определения функции
являются здесь только те значения
, которые принадлежат фрактальной пыли с фрактальной размерностью
, а показатель
зависит от
. Разделим интервал
на
временных промежутков длины
. В
этих промежутков
, в других промежутках показатель
не определен, однако если повернуть координатные оси на небольшой угол, то
. Отсюда эвристически получаем для количества покрывающих квадратов значение
, а для размерности
. Это в самом деле так, что и отмечено в пояснении к рис. 125.
Кроме того, для суммы броуновской функции и канторовой лестницы с
получаем
и
, следовательно,
.
Резюме. Подтверждение эвристически полученного неравенства
можно найти в работах [317] и [30]. См. также [255], с. 27.
Об определении «фрактала». В разделе фракталы упоминается о желательности расширения рамок определения термина фрактал с тем, чтобы они включали и канторову лестницу. Может быть, нам следует сказать так: кривая фрактальна, если показатель
, а показатель
близок к
при «достаточно многих» значениях
? Мне бы не хотелось следовать этим путем, так как подобные расширения довольно громоздки и, кроме того, в них проводится принципиальное различие между случаями
и
.
Функции из прямой в плоскость. Возьмем две непрерывные функции
и
с ЛГ – показателями
и
. Эвристически рассуждая, можно предположить, что для покрытия графика векторной функции от координат
и
на участке
потребуется не больше
кубов со стороной
; следовательно,
. Размерность обыкновенного броуновского следа из прямой в плоскость
вполне согласуется с этим неравенством.
Проекции. Построим непрерывный след, проецируя функцию
на плоскость
. При
эвристика подсказывает, что для покрытия графика нам понадобится не более
квадратов со стороной
; следовательно,
. Рассмотрим аналогичным образом непрерывный след функции
, координаты которой имеют одинаковые ЛГ – показатели
. Эвристическое рассуждение дает
. При
непрерывный след функции
следует покрывать квадратами со стороной
, значит:
.
Все эти выводы нашли подтверждение в [317].