3.4.3. Решение уравнения Винера-Хопфа в циклическом приближении

Вернемся к задаче некаузальной фильтрации шума на изображении. Оптимальный линейный фильтр определяется и в этом случае уравнением Винера-Хопфа (3.6), в котором для начала область существования импульсной характеристики примем неограниченной. В результате имеем:

(3.31)

Дискретный винеровский фильтр удается легко найти в циклическом приближении. Для этого требуется вместо реальных функций и подставить в уравнение (3.31) соответствующие периодически продолженные функции и , имеющие двумерный период . При этом область определения ИХ также сужается до размеров прямоугольника . Поэтому (3.31) принимает вид:

(3.32)

Периодичность функций, входящих в уравнение (3.32), позволяет применить к его обеим частям двумерное ДПФ, подобно тому, как это было сделано выше применительно к уравнению (3.27). В результате получаем:

. (3.33)

В этом выражении - спектральные плотности мощности, представляющие собой ДПФ соответствующих корреляционных функций, а - ДПФ искомой импульсной характеристики, являющееся, таким образом, частотным коэффициентом передачи фильтра Винера. Все функции, входящие в (3.33), являются прямоугольно-периодичными с двумерным периодом . Основное достижение, вызванное применением ДПФ, состоит в преобразовании сложного для решения уравнения Винера-Хопфа (3.32) в простейшее алгебраическое уравнение (3.33), решение которого, правда не для импульсной, а для частотной характеристики, имеет вид:

. (3.34)

Найденное решение дает эффективный способ осуществления оптимальной линейной фильтрации изображения. Его выполнение требует знания спектральных плотностей мощности и опирается на применение к обрабатываемому изображению дискретного преобразования Фурье.

Не следует, однако, забывать, что переход от уравнения (3.31), определяющего истинно оптимальную характеристику фильтра, к уравнению (3.32), позволяющему найти ее периодически продолженный аналог, был выполнен без достаточного обоснования. Поэтому ничего нельзя пока сказать о том, в какой степени найденное решение близко к истинно оптимальному. Для ответа на этот вопрос рассмотрим снова для простоты одномерные аналоги уравнений (3.31) и (3.32), имеющие вид:

(3.35)

(3.36)

Рис. 3.6 иллюстрирует формирование сумм, входящих в правые части этих равенств при некотором произвольном значении сдвига и достаточно большом значении интервала наблюдения . Здесь показаны некаузальная ИХ и корреляционная функция входного сигнала, а штриховкой условно отмечена область суммирования. Из сравнения рис. 3.6.а, соответствующего (3.35), и рис. 3.6.б, соответствующего (3.36), видно, что, хотя во втором случае область суммирования и является двухсвязной, это не приводит к различию результатов суммирования. При большом значении длины интервала соседние зоны на рис. 3.6.б не перекрываются, благодаря чему искажения результатов не происходит. Следовательно, уравнения (3.35) и (3.36) являются эквивалентными.


а)	б)
Рис. 3.6. Сравнение обычного и циклического уравнений Винера-Хопфа

Если же интервал будет соизмерим с размахом корреляционной функции , то произойдет наложение соседних областей периодической картины, что в итоге приведет к изменению значений функций, стоящих под знаком суммы в (3.36), и исказит уравнение Винера-Хопфа. Таким образом, условие применимости фильтра Винера, определяемого соотношением (3.34), состоит в его использовании для обработки изображений, имеющих достаточно большие размеры. Напомним также, что в данном пособии обсуждается уравнение Винера-Хопфа для стационарных сигналов и изображений. Поэтому вблизи границ обрабатываемого кадра, где само их существование приводит к нарушению этого условия, обработка отклоняется от оптимальной.

На рис. 3.7 приведен пример работы фильтра Винера. Как и ранее эксперимент выполнен при отношении сигнал/шум . Относительный средний квадрат ошибок фильтрации составляет в этом эксперименте величину 0,167, что является наилучшим показателем среди всех рассмотренных методов линейной фильтрации (напомним, что при масочной фильтрации выше было получено , а при рекуррентной ). О наименьшем уровне остаточного шума на изображении говорит и визуальная

оценка результата. Хотя нельзя не отметить, что это достигается ценой большей, чем при других методах, дефокусировки изображения. В этом проявляется общее диалектическое противоречие между борьбой с помехами и динамическими искажениями обрабатываемого изображения, свойственное, как отмечалось и ранее, всем методам фильтрации.


а)	б)
Рис. 3.7. Пример винеровской фильтрации шума при

Проведение обработки изображений при помощи фильтра Винера требует использования спектральной плотности мощности изображения. Существуют различные способы получения необходимой информации. Один из них основан на предварительном измерении требуемых характеристик по реальному изображению. Полученные при этом спектральные плотности вводятся в ЭВМ в виде таблиц, позволяя задать коэффициент передачи в численном виде. Другой способ, примененный и в представленном эксперименте, состоит в использовании некоторой математической модели изображения, вид спектрально-корреляционных характеристик которой известен. В этом случае реальное изображение используется для измерения только отдельных параметров, входящих в используемую математическую модель. При проведении эксперимента, описанного выше , в частности, использовалась модель изображения в виде гауссовского двумерного поля с корреляционной функцией (3.17), а измерялись коэффициент одношаговой корреляции и дисперсия .

Анализ эффективности метода будет неполным, если не сделать оценки вычислительной эффективности реализующей его процедуры. Для вычисления ДПФ разработаны эффективные вычислительные методы, воплощенные в процедурах быстрого преобразования Фурье (БПФ). Количество комплексных умножений, составляющих основную трудоемкость двумерного БПФ, оценивают числом [3.2]. Поскольку полный цикл обработки предполагает выполнение прямого и обратного БПФ, то это число следует удвоить. По отношению к одному элементу кадра число умножений, таким образом, составляет . При число умножений в каждой точке кадра равно 32. Для сравнения напомним, что, например, рекуррентный двумерный фильтр, описанный выше, реализуется всего тремя вещественными умножениями в каждой точке кадра (при различных значениях одношагового коэффициента корреляции изображения по строкам и по столбцам - четырьмя умножениями).