5.1.3. Евклидовы преобразования

 Сцену иногда можно рассматривать как твердое тело, когда взаимные деформации элементов сцены в трехмерном пространстве не допускаются. Аналогично и плоскость иногда можно считать жесткой (недеформируемой). Жестким движениям плоскости соответствует евклидова подгруппа, содержащая лишь преобразования сдвига и поворота (рис.5.1), математически записываемых в векторно-матричной форме как

,                         (5.2)

с матрицей поворота на угол  вида и вектором трансляции (сдвига) .

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое линейное преобразование плоскости. Действительно, введением дополнительной единичной компоненты уравнение (5.2) можно переписать следующим образом:

                        (5.3)

Отметим далее, что два последовательно проведенные жесткие движения плоскости могут быть представлены единственным движением:

Рис.5.1. Действие евклидова преобразования на пять точек плоскости (сдвиг, поворот)

                  (5.4)

Комбинация двух последовательных вращений  и  очевидно сводится к вращению . Кроме того, выбором вращения  и сдвига  такое (второе) жесткое движение переводит точки плоскости в первоначальное положение. Отмеченной парой свойств, собственно говоря, и характеризуется группа, а класс матриц со структурой вида (5.3) известен как евклидова группа преобразований. (Она является, естественно, частным случаем линейных преобразований у которых матрицы произвольные. Эти матрицы невырожденные и формируют общую линейную группу преобразований или проективную группу.) Интересно, что матрицы вращения сами по себе формируют так называемую ортогональную подгруппу с замечательным свойством , где - единичная матрица.