5.1.4. Аффинные преобразования

Если матрицу вращения в (5.2) заменить  общей невырожденной матрицей , то получим преобразование

                              (5.5)

или, в матричном виде

,

а)

 

б)

Рис.5.2.

а) действие аффинного преобразования на пять точек (сдвиг, поворот, изменение масштабов вдоль осей, косоугольность с сохранением  параллельных линий); б) исходное изображение (слева) и его аффинно-преобразованная копия  (справа);параметры аффинного преобразования:

и в однородных координатах

                   (5.6)

Здесь также предполагается, что определитель матрицы преобразования не равен нулю: 

Уравнения (5.5),(5.6) определяют общую форму записи хорошо известного аффинного преобразования (смотрите рис.5.2). Любое аффинное преобразование имеет обратное, которое также является аффинным. Произведение прямого и обратного преобразований дает единичное преобразование, оставляющее все на месте.  Аффинное преобразование является самым общим взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость, при котором сохраняются прямые линии. Сохраняются также отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой (или на параллельных прямых), и отношения площадей фигур. Параллельные прямые переходят в параллельные.

 В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих простой и наглядный геометрический смысл, а также хорошо прослеживаемые геометрические характеристики [5.4,гл.15].

1. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей, задаваемое в виде:

Растяжению вдоль соответствующей оси соответствует значение                       масштабного  множителя большего единицы. В однородных координатах матрица растяжения (сжатия) имеет вид

.

2. Поворот вокруг начальной точки на угол , описываемый формулой:

Матрица вращения (для однородных координат)

.

3. Перенос, задаваемый простейшими соотношениями:

Матрица переноса имеет вид

.

4. Отражение (относительно какой либо из осей, например оси абсцисс) задается при помощи формулы:

Матрица отражения, соответственно

.

Из курса аналитической геометрии хорошо известно, что любое аффинное преобразование (5.5) всегда можно представить в виде композиции последовательно выполняемых простейших преобразований означенного вида. Более того, суперпозиция аффинных преобразований также является аффинным преобразованием. Ясно, что аффинные преобразования образуют аффинную группу. В частности подгруппой аффинной группы преобразований является группа подобия (содержащая преобразования сдвига, поворота и изменения масштаба):

В то же время аффинная группа является подгруппой общей линейной (проективной) группы, а евклидова группа является частным случаем аффинной группы преобразований. Поэтому все отмеченные преобразования формируют иерархию в том смысле, что верно соотношение для их взаимной соподчиненности евклидово преобразование  аффинное  проективное преобразование.

Зная параметры аффинного преобразования, можно вычислить непосредственно и параметры обратного преобразования

решив систему уравнений (5.5) относительно :

Если параметры таковы, что , то данное аффинное преобразование имеет неподвижную точку :

Заметим, что при  начало координат и будет являться неподвижной точкой.